Комплексный чертёж плоскости и поверхности

В данном модуле вы познакомитесь с различными видами поверхностей и их модификациями, способами задания их на комплексном чертеже, особенностями построения. Узнаете, что простейшая поверхность - это плоскость.

Задание плоскости на комплексном чертеже

«Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину»

(Евклид «Начала»,  век до н.э., книга 1, определение 5.)

Как вы думаете?

1. Не дана ли в "Началах" трактовка поверхности слишком упрощенно?

2. Какая фигура в современном понимании имеет "только длину и ширину"?

3. Безразмерна ли плоскость, или она имеет границы?

4. Можно ли задать плоскость пространственными линиями?

Плоскость является частным случаем поверхности - это двумерная геометрическая фигура, она имеет только длину и ширину, и не имеет толщины. Обозначается прописными буквами греческого алфавита. Плоскость - это множество точек, но определяется она тремя точками (напомним, что прямую линию определяют две точки).

Плоскость можно задать на чертеже:

1. Тремя точками: (А, В, С);

2. Прямой и точкой, не лежащей на данной прямой: Г(а, В);

Двумя параллельными прямыми: (с а);

3. Двумя пересекающимися прямыми: (m  n);

4. Любой плоской фигурой: (АВС);

5. Своей главной проекцией: (­₁);

6. Линией наибольшего наклона плоскости  (g₁ ,g₂);

Рис. 2-1

Плоскости бывают общего и частного положения

Рис. 2-2

Если плоскость не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций,

то она называется плоскостью общего положения

Примеры чертежа плоскости общего положения см. варианты 1 - 5; 7 (рис. 2-1).

Взаимная принадлежность точки, прямой и плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Построение точки в плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой.

Задача: Плоскость  задана пересекающимися прямыми а и b (рис. 2-3). Точка М(М₂ ) принадлежит плоскости.

Найти М_1.

Краткая запись условия задачи: (а  b), М(М₂ ) ; М₁ = ?

Рис. 2-3

Решение: Через точку М₂ (рис. 2-4) проводим вспомогательную прямую

k : k₂  a₂ =1₂; k₂  b₂ =2₂;

затем находим горизонтальные проекции точек 1 и 2 по условию принадлежности прямым а и b соответственно; через две точки 1₁ и 2₁ проводим прямую k₁ и на ней, с помощью линии связи, находим точку М₁. И таких прямых можно провести сколько угодно, то есть, вариантов решения бесчисленное множество.

Рис. 2-4

Прямая принадлежит плоскости, если она:

1. Проходит через две точки плоскости;

2. Проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

В предыдущем примере мы рассмотрели, как построить прямую в плоскости по двум точкам. Для второго случая плоскость Г зададим треугольником АВС.

Задача: Плоскость Г задана АВС (рис. 2-5).

Точка М(М₁) принадлежит Г. Найти М₂.

М(М₁) Г(АВС). М₂ = ?

Рис. 2-5

Решение:

Через точку М₁ (рис.2-6) проведём прямую k, параллельную стороне треугольника АВ. Она пересечёт сторону АС в точке 1: k₁  A₁ B₁ ; k­₁ A₁  C₁ =1₁; с помощью линии связи найдём 1₂, проведём k₂ параллельно А₂В₂ ней найдём точку М₂:

Рис. 2-6

Алгоритмическая запись решения:

1₁ A₁C₁  1₂ A₂C₂; 1₂ k₂, k₂  A₂B₂; M₂ k₂.

Как вы думаете?

Сколько решений имеет эта задача?