2. Настройка контура управления.

Будем строить управление по оценке вектора состояния:

Где - управление, зависящее от задания желаемого выхода, – оценка вектора состояния.

Для начала найдем просто матрицу , которая в нашем случае является строкой. Для этого запишем характеристическое уравнение матрицы A:

В качестве проверки можно сравнить с ранее рассчитанным для заданных значений параметров знаменателем передаточной функции.

Приведем уравнение с к виду:

Таким образом, параметры :

И собственные значения матрицы А:

Теперь задаем желаемые свойства замкнутой системы, то есть желаемое расположение собственных чисел матрицы А. Назовем эту желаемую матрицу, описывающую замкнутую систему, . При подстановки управления в модель получаем следующую запись дифференциального уравнения (отсюда заключаем, что в нашем случае К строка):

Соответственно решается задача расположения трех собственных значений этой матрицы (размерность системы не меняется). Подберем собственные значения так, чтобы не было колебательности замкнутой системы (числа вещественные), и чтобы они сильно не отличались друг от друга, а были примерно в одном числовом интервале (чтобы экспоненты, получаемые в интегральных звеньях, убывали примерно с одинаковой скоростью). Также возьмем значения как можно дальше от мнимой оси, то есть, выбираем их как можно меньше (они должны быть дальше, чем собственные значения самого объекта, чтобы управление успевало сформироваться, пока в объекте протекают процессы). При этом не накладываем никаких ограничений на управление U, которые в реальности всегда существуют. Пусть собственные значения желаемой замкнутой системы:

Запишем характеристическое уравнение матрицы .

Приведем это уравнение к виду:

При перемножении и подстановки выбранных желаемых собственных чисел:

Вводим промежуточный вектор , который зависит от установленных значений собственных чисел замкнутой системы и исходной по формуле:

А искомый К определяется:

Позволю себе провести вычисления с помощью пакета MatLab, приводя здесь лишь промежуточные результаты.

Найдем теперь строку К, через встроенные функции MatLab, задавая вектор желаемых собственных значений замкнутой системы, в данном случае создавать отдельный М-файл не имеет смысла, так как задача решается одной командой (считаем, что A и b уже заданы):

>> k=place(A,b,[-100 -90 -80])

1.0e+004 * 0.0152 0.0191 1.9565

Видим, что значения совпадают, что свидетельствует о верности расчетов.

Построим матрицу :

3. Настройка контура оценивания.

Так как , для управления по вектору состояния, нам требуется найти его оценку по известной модели и выходу. Таким образом, строим алгоритм оценивания, в котором требуется матрица невязки L. А – ошибка оценивания.

Введем обозначение (отсюда можно заключить, что L вектор):

Собственные числа матрицы должны обеспечивать любое наперед заданное стремление ошибки к нулю, чтобы оценка вектора состояния была точной. Стоит задача выбора собственных чисел матрицы , так чтобы оценка вектора состояния происходила быстрее, чем процессы в системе. Поэтому требуется собственные числа матрицы сделать меньше, чем полученные в предыдущем разделе. Потребуем, также чтобы оценка стремилась к нулю апериодически, то есть собственные значения должны быть вещественные

И делаем аналогичные предыдущему разделу операции. Запишем характеристическое уравнение матрицы.

Приведем это уравнение к виду:

При перемножении и подстановки выбранных желаемых собственных чисел:

И уже найденные коэффициенты:

Вводим промежуточный вектор , которая зависит от установленных значений собственных чисел контура оценивания и исходной матрицы А:

А искомый L определяется:

Позволю себе и здесь также провести вычисления с помощью пакета MatLab, приводя лишь промежуточные результаты.

Найдем теперь вектор L, через встроенные функции MatLab, задавая вектор желаемых собственных значений замкнутой системы, в данном случае создавать отдельный М-файл не имеет смысла, так как задача решается одной командой (считаем, что A и с уже заданы). Так как команда предназначена для определенных размерностей входных величин, то транспонируем все, что потребуется:

>> l=place(A',c',[-110 -120 -130]) l = 1.0e+004 * 0.8940 1.1482 0.0250

Как видно, результаты, полученные аналитически и с помощью MatLab, совпали, значит, расчеты верны.

Построим матрицу :