10 Понятия: отображение, гомоморфизм, изоморфизм, предикат
Пусть имеется два
множества A и B,
тогда функция f
однозначно ставящая в соответствие
каждому элементу
называется отображением множества
A на множество B,
то есть
.
Элемент
называется образом элемента a.
Если существует
,
которое не является образом ни одного
из элементов множества A,
то преобразование f
называется отображением множества
A «в» B.
Если f(A) = B , то отображение называется «на», A «на» B.
Множество, задаваемое
функцией
,
которое включает, элементы множества
A называются прообразом
множества B. В общем
случае
может обеспечить неоднозначное
преобразование.
Отображение называется взаимнооднозначным, если каждому элементу множества A соответствует один элемент множества B и наоборот.
Отображение A
«в» B называется
гомоморфизм, если выполняется
условие
.
Изоморфизм –
множество A «на»
B является
взаимнооднозначным гомоморфизмом, то
есть
,
тогда семантическая модель представляет
собой изоморфизм множества
A в Ψ (пси), где A
– фиксированное множество элементов
исследуемой области с исследуемыми
связями между ними.
Пси определяется следующим набором:
,
где
– множество элементов модели
соответствующих элементам предметной
области, носитель модели,
– предикаты, характеризующие отношения
между элементами предметной области.
Предикат – это логическое выражение содержащие производное число аргументов и принимающее два значения, либо «истинное», либо «ложное».
Пример: хороший
студент
Предикаты называются сигнатурой модели. Носитель модели является содержательной областью для предикатов. Выбор сигнатуры и носителя модели определяется рассматриваемой предметной областью.
11 Семантическая модель системы
Рассмотрим модель
системы с точки зрения возможности
реализации процедур декомпозиции,
анализа и синтеза. Модель рассматривается
как отображение
,
тогда система определяется следующим
набором:
,
(1.1)
где
- подмодель, характеризующая преобразование,
реализуемое системой. Часто
представляется при помощи «черного
ящика», о котором известно, что определенный
набор входных факторов приводит к
определенному значению выходных
факторов.
- подмодель,
характеризующая структуру системы при
ее внутреннем рассмотрении.
-
предикат целостности, который характеризует
семантику (смысл) подмоделей
и
,
семантику преобразования
и
.
Если
=1
– это «истина», это означает, что
подмодели
и
семантически связаны.
Рассмотрим:
,
где
- входные характеристики модели;
- набор выходов
модели;
- характеризует
состояние системы в определенный момент
времени.
Зная элемент z в определенный момент времени, можно определить значение элементов y.
f, g – это функционалы (глобальные уравнения системы) связывающие выход модели x и z, то есть они определяют текущие значения состояния системы и ее входных характеристик.
(1.2)
,
(1.3)
Уравнение (1.2) называется уравнением наблюдения, (1.3) – уравнение состояние.
Если систему удается описать при помощи формул, то она уже не рассматривается как «черный ящик». Однако часто это не удается. Помимо данных выражений система определяется тремя аксиомами:
-
Для каждой системы должно быть определено множество (пространство) Z возможных состояний, в которых может находиться система, а также параметры пространства T, в котором определено поведение системы.
-
Число элементов множества Z не должно быть меньше двух.
-
Система должна обладать свойством функциональной эмерджентности. Это свойство системы, которое принципиально не может быть выведено из свойств его отдельных элементов и подсистем данной системы.
Таким образом, система может быть представлена в виде модели, которая включает подмодели и связи между ними.