Кривые второго порядка

25. Какие из следующих уравнений являются уравнениями эллипсов: а) ; б) ;

в) ; г) ; д.) ;

е.) ?

26. При каких значениях p точка (p; 3) принадлежит эллипсу ?

27. Верно ли, что произведение полуосей эллипса равно 36?

28. Чему равны полуоси эллипса ?

29. Верно ли, что расстояние между противоположными вершинами эллипса равны 6 и 2?

30. При каких значениях m уравнение является уравнением эллипса?

31. При каких значениях p прямая х=р имеет с эллипсом ровно одну общую точку?

32. Чему равен радиус окружности, сжатием которой к оси ОX получен эллипс ?

33. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат и касающейся прямой

х – у – 2=0 в точке М(4; 2).

34. Доказать, что отношение расстояний от любой точки гиперболы до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная .

35. Какие линии определяются следующими уравнениями: 1) ; 2) ?

36. Доказать оптическое свойство параболы: луч света, исходящий из фокуса параболы, отразившись от неё, идёт по прямой, параллельной оси этой параболы.

37. Из фокуса параболы у²=12х под острым углом к оси ОX направлен луч света. Известно, что . Дойдя до параболы, луч от неё отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отражённый луч.

38. Каково уравнение параболы с вершиной в точке О(0; 0), если уравнение её директрисы 2у+7=0?

39. Каково будет уравнение параболы у²=4х, если её ось симметрии повернуть на на на –

Параметрические уравнения

40. Является ли окружностью линия:

а)

б)

в)

г) ?

41. Является ли линия прямой?

42. Могут ли различные параметрические уравнения определять одну и ту же кривую?

43. Проходит ли траектория через точку (2; –1)?

44. При каких значениях параметра t точки траектории лежат в нижней полуплоскости?

45. При каких значениях параметра t точки траектории имеют отрицательные абсциссы?

46. В какой точке началось движение по закону:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

47. Может ли точка двигаться равномерно и прямолинейно по закону ?

48. По какой траектории движется точка, если закон её движения имеет вид:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ?

Полярная система координат

49. Как расположены точки, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению: 1) ;

2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ?

50. Каковы координаты точки В полярной оси, отстоящей от точки на 7 единиц?

Примерный вариант контрольной работы Вариант 1

1. На биссектрисе первого координатного угла лежат точки А(3; 3) и В(х; у), расстояние между которыми . Найти координаты точки В.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х – у – 1=0 и 3х – у+4=0 параллельно прямой 4х+2у – 13=0.

3. Найти угол между высотой AD и медианой АЕ в треугольнике с вершинами в точках А(1; 3), В(4; –1), С( –1; 1).

4. Найти каноническое уравнение эллипса, если:

а) расстояние между концами большой и малой оси равно 5, а сумма длин полуосей равна 7;

б) расстояние от его фокуса до концов большой оси равны 2 и 14.

5. Через фокус параболы у²= –х проведена прямая под углом к оси ОX. Найти длину образовавшейся хорды.

6. Какую линию определяет уравнение

4х²+9у² – 8х – 36у+4=0?

Вариант 2

1. Дан треугольник АВС с вершинами А(1; 5), В(4; 1), С(13; 10). Найти точку пересечения биссектрисы внутреннего угла А со стороной ВС.

2. Прямая y=kx+4 удалена от начала координат на расстояние . Найти значение k.

3. Даны последовательные вершины параллелограмма ABCD: А( –2; 5), В(2; 7), С( –4; –3). Найти координаты четвёртой вершины D и написать уравнение диагонали BD.

4. Найти уравнение прямой, содержащей диаметр окружности х²+у² – 6х+4у+8=0, перпендикулярный прямой х – 3у+2=0.

5. Найти уравнение гиперболы, зная, что её эксцентриситет ε=2, фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса .

6. Какую линию определяет уравнение

х² – 9у²+2х+36у – 44=0?