Задания для самостоятельного решения

№1. Дана функция f (t)=2t³ – 3t+4. Найти f ( –2); f (0); f (1); f (a).

Ответ: f ( –2)= –6; f (0)= 4; f (1)=3; f (a)=2a³ – 3a+4.

№2. Дана функция, . Найти ; . В каких точках функция не определена?

Ответ: ; .

Функция не определена в точках .

№3. Дана функция f (x)=sin x. Найти:1) f ²(x)+;

2) ; 3) ; 4) f (1); 5) f ( –2).

Ответ: 1) 1; 2) tg x; 3) sin 2x; 4) sin 1; 5) sin( –2).

№4. Найти области определения функции: 1) y=lg(4 – 3x – x²); 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) y=arcсos; 7) y=+lg(sin x); 8) y=log₂(x² – 7x+12)+; 9) ; 10) ; 11) ; 12) y=lg(sin x+2).

Ответ: 1) D(y)=( –4; 1); 2) D(y)=R\{ –2; 7};

3) D(y)=[ –1; 2]; 4) D(y)=R\{4};

5) D(y)=; 6) D(y)=; 7) D(y)=[ –5; –)(0; );

8) D(y)=[1; 3)(4; ); 9) D(y)=, ;

10) D(y)=, ;

11) D(y)=, , 12) D(y)=R.

№5. Найти множество значений функции: 1) , ; 2) ,  –1<x<0; 3) y=lg x, 10;

4) y=3+2x – x²,  –15; 5) y=cos x, .

Ответ: 1) ; 2) ( –; –1);

3) [1; 2]; 4) [ –12; 0]; 5) .

№6. Какие из указанных функций чётные, какие нечётные и какие из них не обладают этими свойствами: 1) у =5^х; 2) y =x² 3^x; 3) y =x – x³; 4) y =x²+3x+2; 5) у =x³+2x+1; 6) y =sin²x; 7) ; 8) y=; 9) у =x⁴+x² – 5; 10) f (x) =const.

Ответ: Функции 6, 9, 10 — чётные;

функции 3, 8 — нечётные;

функции 1, 2, 4, 5, 7 — общего вида.

№7. Записать сложную функцию у =у (u (v (x))), где:

1) y =sin u; u =lg v; v =; 2) y =arctg u; u =; v =lg x.

Ответ: 1) y =sin(lg); 2) y =arctg().

№8. Сложную функцию у записать в виде цепочки равенств:

1) у =(2х – 5)¹⁰; 2) y =lg.

Ответ: 1) y=u¹⁰; u=2x – 5; 2) y=lg v; v=tg w; w=.

Занятие 2 Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел последовательности

Цели

Знать:

• Определение последовательности; бесконечно малой и бесконечно большой последовательности;

• определение предела числовой последовательности;

• основные свойства и операции над пределами последовательностей.

Уметь:

• Вычислять предел последовательности, используя основные свойства и операции над пределами последовательностей.

Под числовой последовательностью х₁, х₂, х₃, …, х_n, … понимается функция

x_n=f (n), (11)

заданная на множестве натуральных чисел.

Пример. Если известен общий член последовательности x_n=, то соответствующая последовательность будет: 1, , , , …, , …

Действия над последовательностями

Пусть {x_n} и {y_n} произвольные последовательности, содержащих одинаковое количество элементов.

Суммой (разностью) последовательностей {x_n} и {y_n}, называется последовательность, каждый член которой есть сумма (разность) соответствующих членов последовательностей {x_n} и {y_n}.

(12).

Аналогично определяются произведение и частное последовательностей {x_n} и {y_n}, в случае частного .

Частным случаем операции умножения последовательностей (если одна из последовательностей постоянна) является операция умножения последовательности на число: для того, чтобы умножить последовательность {x_n} на число k, необходимо каждый член этой последовательности умножить на k, т.е.

(13).

▼ Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполнено неравенство

(14). ▲

▼ Последовательность {у_n} называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдётся такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство

|y_n|>M (15). ▲

Пример. у_n=( –1)^n – 1n, принимает значения: 1; –2; 3; –4; … Данная последовательность есть бесконечно большая величина, так как она становится и остаётся с некоторого номера N по абсолютной величине больше сколь угодно большого числа |M|, |y_n|>M при nN.

▼ Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ). Будет выполнено неравенство

(16). ▲