6. Классическая вероятность

В процедурах принятия решений, а мы всю свою жизнь постоянно этим занимаемся, важнейшую роль играет анализ вероятностного расклада позитивных и негативных последствий планируемых действий и мероприятий, будь то расчет разумных затрат на рекламную компанию или оценка характера и размера ставок в казино. В отличие от эмпирической вероятности практический интерес в этой сфере человеческой деятельности может представлять только такая вероятность, которая является числовой характеристикой возможности появления случайного события, определяемая до опыта (априорная вероятность). В самом деле, мало радости подсчитывать убытки , вместо того, чтобы грамотно спрогнозировать ситуацию и предусмотрительно не совершить ошибочные действия.

Этим целям служит классическая вероятность, требующая введения некоторых вспомогательных понятий. Как и ранее предполагается, что случайный эксперимент может быть воспроизведен неограниченное количество раз в одинаковых условиях. Однако принципиальным моментом при расчете классической вероятности является то, что эксперимент производится чисто умозрительно. Исход эксперимента называется благоприятным для события А, если оно следует из такого исхода. Например, при бросании кубика для события А=”выпало четное число” из 6 возможных благоприятны три исхода “2”, ”4”, ”6”. Таким образом, случайное событие может быть описано перечнем благоприятных исходов. В нашем случае ”выпало четное число” =”выпало 2 или 4 или 6”.

Исходы с одинаковыми шансами на реализацию называются равновозможными. В примере с кубиком таковыми являются все шесть мыслимых исходов.

Теперь рассмотрим мысленный эксперимент с N равновозможными и несовместными исходами. Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение числа (А) благоприятных исходов для А к общему числу N равновозможных несовместных исходов

Р (А)= .

Это равенство представляет собой определение классической вероятности, которая вычисляется как доля благоприятных исходов в общем количестве возможных исходов. Классическая вероятность в отличие от эмпирической не требует проведения экспериментов и в то же время обладает всеми свойствами последней. В самом деле, из классического определения вероятности следует:

1. 0£Р (А)£1, Р(∅)=0 (нет благоприятных исходов), Р(Ω)=1 (все исходы

благоприятны).

2. Для несовместных событий вероятность их суммы равна сумме

их вероятностей

Р(А+В)= = = + = Р(А)+Р(В).

3. Для полного набора событий их сумма - достоверное событие, т.е.

Р()= = = =1.

Отсюда для несовместных событий А и В ввиду отсутствия благоприятных исходов находим Р(АВ)=0 .

Далее, учитывая, что А+=Ω, вследствие несовместности события и ему противоположного получаем

Р(А+)=Р(А)+Р()=1 или Р()=1-Р(А).

В качестве примера рассмотрим бросание кубика. При условии полной симметрии кубика вероятность выпадения любой его грани равна 1/6. Поэтому для события А=”выпало четное число” из расчета три благоприятных исхода из шести возможных имеем Р(А)=3/6=1/2=0,5.

	1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6	2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

Если бросать два кубика одновременно, то для события В=”сумма выпавших цифр равна 10” общее количестве исходов равно 6´6=36, поскольку каждый исход на первом кубике может комбинировать с любым исходом на втором кубике. Для того чтобы убедиться в этом достаточно составить таблицу с перечислением всевозможных исходов с обозначением символами и цифр, выпавших на первом и втором кубиках соответственно. Из этой таблицы сразу же извлекаются благоприятные исходы в количестве трех штук: (6, 4), (5, 5), (4, 6). Теперь нетрудно посчитать, что Р(В)==. Полученный результат трактуется так, - в реальном эксперименте на каждые 12 испытаний в среднем придется лишь один благоприятный исход.