Контрольна робота № 8.

1. Розв`язати конгруенції:

   1. ,

   2. (mod 5),

   3. (mod 7),

   4. (mod 11),

   5. (mod 11),

   6. (mod 3),

   7. (mod 5),

   8. (mod 5),

   9. (mod 5),

   10. (mod 5).

2. Розв`язати конгруенції, звівши їх до двочленних:

   1. (mod 5),

   2. (mod 17),

   3. (mod 31),

   4. (mod 41),

   5. (mod 47),

   6. (mod 13),

   7. (mod 23),

   8. (mod 5),

   9. (mod 7),

   10. (mod 7).

3. Користуючись критерієм Ейлера знайти всі квадратні лишки за модулем:

   1. 5;

   2. 7;

   3. 11;

   4. 13:

   5. 17;

   6. 23;

   7. 37;

   8. 53;

   9. 19;

   10. 43.

4. Знайти порядок числа a за модулем m, якщо:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	5	2	4	10	2	7	3	4	5	5
m	13	5	5	13	17	43	7	7	7	11

5. Знайти всі первісні корені за модулем m:

варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
m	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41

5. Розв`язати конгруенції:

   1. (mod 7),

   2. (mod 13),

   3. (mod 23),

   4. (mod 31),

   5. (mod 37),

   6. (mod 61),

   7. (mod 73),

   8. (mod 73),

   9. (mod 73),

   10. (mod 79).

7. Знайти найменше натуральне число x, яке задовольняє наступній конгруенції:

   1. (mod 13),

   2. (mod 17),

   3. (mod 31),

   4. (mod 31),

   5. (mod 31),

   6. (mod 37),

   7. (mod 41),

   8. (mod 43),

   9. (mod 53),]

   10. (mod 67).

8. Знайти остачу від ділення;

   1. на 35;

   2. на 29;

   3. на 37;

   4. на 29;

   5. на 67;

   6. на 73;

   7. на 79;

   8. на 89;

   9. на 629;

   10. на 135.

Зразки роз`язання задач контрольної роботи № 8

1. Розв`язати конгруенцію:

(mod 5).

Розв`язання.

Конгруенцію замінимо еквівалентною їй конгруенцією степеня не вище 4 за тим же самим модулем 5.

Поділимо на . Дістанемо

Замінивши всі коефіцієнти остачі найменшими лишками за модулем 5, дістанемо, що дана конгруенція еквівалентна конгруенції (mod 5). (1)

Замінимо цю конгруенцію еквівалентною їй конгруенцією із старшим коефіцієнтом, що дорівнює 1. Розв`яжемо конгруенцію:

(mod 5).

Додамо до правої частини модуль:

(mod 5).

Обидві частини ділимо на 3:

(mod 5).

Домножимо конгруенцію (1) на 2:

(mod 5).

Останню конгруенцію замінимо еквівалентною їй:

(mod 5). (2)

Оскільки (mod 5), то (x, 5)=1, а тому (mod 5). Тоді конгруенція (2) матиме вигляд (mod 5). (3)

Оскільки (x, 5)=1, то обидві частини конгруенції (3) можна скоротити на x:

(mod 5) (4)

Конгруенція (4) має такі розв`язки:

(mod 5) і (mod 5).

Отже, конгруенція (1) має розв`язки:

2; 3 (mod 5).

Зауваження: Замість того, щоб ділити на , можна було б замінити на , де r – остача від ділення s на 5-1= 4, причому якщо s ділиться на 4, то покладаємо r=4. Тоді

(mod 5);

;

;

.

Отже, .

2. Розв`язати конгруенцію, звівши її до двочленної: .

Розв`язання.