1.2 Опрацювання результатів опосередкованих вимірювань

1.2.1 Оцінка результату і похибки опосередкованих вимірювань

Опосередковані вимірювання виконуються у два етапи. На першому етапі внаслідок прямих одноразових або багаторазових вимірювань знаходять значення аргументів (початкових величин) . В окремих випадках для їх визначення можуть застосовуватися сукупні або сумісні вимірювання. При прямих багаторазових вимірюваннях аргументів масив експериментальних даних для кожного аргументу обробляють за методикою і отримують оцінки результатів вимірювань аргументів, а також точкові або інтервальні оцінки похибок цих результатів. При прямих одноразових вимірюваннях аргументів як їх оцінки (результати вимірювань) використовують покази ЗВТ, а для оцінки похибок цих результатів вимірювань — границі допустимих похибок, визначених за НМХ ЗВТ. На другому етапі виконання опосередкованих вимірювань обчислюють їх результат, а також точкові або інтервальні оцінки похибок. Методи знаходження результату і характеристик похибки опосередкованих вимірювань зумовлені функціональною залежністю (лінійна або нелінійна) і наявністю кореляційних зв’язків між аргументами. За цими ознаками відрізняють лінійні і нелінійні опосередковані вимірювання, опосередковані вимірювання з залежними і незалежними аргументами [58].

Для більш точного обчислення результату опосередкованих вимірювань Y необхідно було б знати густину розподілу всіх аргументів , щоб визначити густину розподілу Y. Проте це пов’язано з великими математичними і експериментальними труднощами, тому обмежуються приблизними визначеннями оцінок числових характеристик результату опосередкованих вимірювань, цілком достатніх для практичних вимірювань.

1.2.2 Опрацювання результатів опосередкованих вимірювань з лінійною залежністю

Опосередковані вимірювання з лінійною залежністю у загальному випадку описують виразом:

, (1.31)

де  постійні коефіцієнти при аргументах .

Якщо коефіцієнти визначаються експериментально, то для знаходження результату опосередкованого вимірювання спочатку оцінюють кожний доданок як опосередковану вимірювану величину, що являє собою добуток двох попередньо вимірюваних величин , а потім знаходять значення вимірюваної величини Y.

Для оцінки результату і похибки опосередкованих вимірювань використовуються основні властивості математичного сподівання (для оцінки результату вимірювання) і дисперсії (для оцінки СКВ похибки) суми випадкових величин. До уваги не приймають проміжні записи і припускають, що значення аргументів отримані прямими багаторазовими вимірюваннями, а похибки аргументів корельовані. В такому випадку:

- для результату опосередкованих вимірювань (тобто оцінки істинного значення опосередкованої вимірюваної величини) скористаємося формулою:

, (1.32)

де  середнє арифметичне значення j-го аргументу, одержане при обробці результатів прямих вимірювань величини ;

- для оцінки СКВ результату опосередкованих вимірювань відомо:

, (1.33)

де  оцінка СКВ результату вимірювання j-го аргументу;

 оцінка коефіцієнта взаємної кореляції між випадковими похибками j-го і q-го аргументів ( та ).

У загальному випадку опосередкованих вимірювань, коли коефіцієнти , з формул (1.32) і (1.33) відповідно маємо:

;

. (1.34)

Критерієм відсутності кореляційного зв’язку між двома аргументами і є виконання нерівності:

, (1.35)

де  коефіцієнт Стьюдента, що відповідає рівню значущості і числу степенів вільності k_s = n  2, причому n = min(,) — найменше з чисел спостережень i аргументів і . Якщо вимірювана величина залежить від m аргументів, то перевіряють відсутність кореляційних зв’язків між усіма парними сполученнями цих аргументів.

Оцінки коефіцієнтів кореляції обчислюють за результатами прямих вимірювань аргументів (початкових величин) , опосередкованих вимірювань.

Наявність кореляції слід очікувати при вимірюваннях, де обидві фізичні величини ( і ) вимірюються одночасно за допомогою ЗВТ одного типу, а непомітні для експериментатора зміни зовнішніх дій (температури, напруги живлення, електричних і магнітних полів і т.д.) істотно й неоднаково впливають на додаткові похибки ЗВТ. Причиною кореляції між результатами вимірювань в окремих випадках може стати експериментатор, коли його навики і досвід значно впливають на результат прямих вимірювань початкових величин (при використанні ЗВТ з ручним зрівноважуванням).

При вимірюваннях, коли початкові величини вимірюють різними ЗВТ й у різний час, можна з достатньою впевненістю сказати, що результати цих вимірювань, якщо і будуть корельованими, то дуже слабко, і коефіцієнтом кореляції в (1.33) можна знехтувати, тобто вимірювання можна вважати незалежними. В цьому випадку формула (1.33) набуває вигляду:

, (1.36)

а при

. (1.37)

Розподіл результатів опосередкованих вимірювань буде нормальним, якщо нормальним є розподіл результатів прямих вимірювань. Тоді для визначення довірчого інтервалу результатів опосередкованих вимірювань використовується розподіл Стьюдента, при якому замість числа вимірювань n необхідно скористатися деяким «ефективним» числом степенів вільності, що в загальному випадку (при ) визначається за формулою

(1.38)

де — число прямих спостережень у серії при визначенні .

Якщо числа спостережень однакові , то вираз для «ефективного» числа степенів вільності розподілу Стьюдента спрощується

, (1.39)

За умови, що розподіли похибок результатів вимірювань аргументів не суперечать нормальному розподілу, довірчі границі випадкової похибки результату опосередкованого вимірювання обчислюють за формулою [17]:

, (1.40)

де  коефіцієнт Стьюдента, що відповідає довірчій ймовірності і числу степенів вільності .

Невилучена систематична похибка опосередкованих вимірювань, якщо така похибка присутня в результатах вимірювань аргументів, оцінюється за даною методикою, при цьому важливі два випадки.

У першому випадку, коли невилучені систематичні похибки результатів вимірювань аргументів задаються границями , довірчі границі невилученої систематичної похибки результату опосередкованих вимірювань для довірчої ймовірності P знаходять за формулою

, (1.41)

де  поправочний коефіцієнт, що визначається довірчою ймовірністю P і числом m складових .

В другому випадку, коли невилучені систематичні похибки результатів вимірювань аргументів задаються довірчими границями , що відповідають ймовірностям , і при тому границі невилученої систематичної похибки результату опосередкованого вимірювання для ймовірності P знаходять за формулою

. (1.42)

Значення коефіцієнтів , , та довірчу похибку результату опосередкованого вимірювання визначають математично.

При прямих одноразових вимірюваннях формули (1.32)...(1.40) мають той самий вигляд, але в них треба провести формальну заміну: на , на , на і на .