8. Правила Кірхгофа для розгалужених кіл. [1]:§§99-100. [3]:§§2.2 [7]:§§2.6

1.6.1 Метод рівнянь Кірхгофа. В задачах аналізу для розрахунку кола  потрібно визначити струми у вітках  за відомими  параметрами ЕРС , резисторів і конфігурації кола. Для елек-тричного кола із кількістю вузлів В і віток Вт необхідно скласти кількість рів-нянь, щоб визначити всі невідомі струми. У вітках із джерелами струму ВтJструми відомі, відповідно і зменшиться кількість рівнянь складених за другим законом Кірхгофа для незалежних контурів. Кількість рівнянь за першим зако-ном Кірхгофа : . Кількість рівнянь складених за другим законом:    Наприклад, для кола Рис.20  кількість вузлів В=3, віток Вт= 5, віток зі струмом ВтJ=1.

 

Загальна кількість рівнянь:

        

Значно складніші  зворотні задачі синтезу, в яких, наприклад, відомі стру-ми і напруги на деяких ділянках кола, а потрібно знайти конфігурацію кола і вибрати його елементи. План розв’язання електричного кола  методом рівнянь Кірхгофа. 1 .Визначити кількість вузлів В, довільно вибрати напрями струму у вітках і скласти  n1= (В - 1)рівнянь за першим законом Кірхгофа. 2. Визначити кількість незалежних контурів та вибрати довільно напрямок їх обходу, бажано однаково, (за годинниковою стрілкою). Скласти для кожного незалежного контура рівняння за другим законом Кірхгофа  n2= Вт - (В - 1) - ВтJ. Для контура, в який входить вітка із джерелом струму, рівняння не складається  (зайва інформація). 3. Розв’язок системи рівнянь дає невідомі струми. Якщо якийсь із струмів має  знак «мінус» це означає, що його істинний напрям протилежний вибраному. 4. Перевірити правильність розв’язку за балансом потужностей. Розглянемо коло, приведене на Рис.21

 

У колі  вузлів В=4, віток Вт=6, віток із дже-релами струму ВтJ=0. Кількість рівнянь за першим законом Кірхгофа  n1=  (В -1)= 4-1=3. Кількість рівнянь за другим законом Кірхгофа n2= Вт-(В-1) -ВтJ=6-(4-1)-0=3, або дорів-нює кількості незалежних контурів.

 

Одержана система із шести рівнянь із шістьма  невідомими (струмами). У колі  Рис.22 вузлів В=5, віток Вт=8, віток із джерелами струму ВтJ=1.  

Кількість рівнянь за першим законом Кірхгофа  n1=  (В -1) = 4-1=3. Кількість рівнянь за другим законом Кірхгофа n2= Вт-(В-1)-ВтJ=8-(5-1)-1=3,

        

                             або дорівнює кількості незалежних контурів мінус відомий контурний струм J.

 

Як ясно із першого закону Кірхгофа вигляд рівнянь залежить не від еле-ментів віток, а від геометричної структури самих з’єднань. Аналогічний смисл мають рівняння і другого закону Кірхгофа. Для характеристики геометричної структури схеми кола можна користуватися топологічним графом, частини якого називають ребрами , що зображають вітки кола, а  точки їх з’єднання - вершини, зображають вузли кола.  На  Рис.23 зображений ненаправлений (нео-рієнтований) граф для кола Рис.1,б.

 

Дерево графа - сукупність віток, що з’єднують всі вузли, але  не створюють жодного контура. На  Рис.24,а, б, в показані суцільними лініями три де-рева того ж самого графа.   Хорда (вітка зв’язку) - будь яка вітка, що не вхо-дить у дерево, на рисунку вони показані пунктир-ними лініями. Проведення однієї вітки зв’язку створює один  незалежний контур. Очевидно, кількість віток зв’яз-ку дорівнює кількості незалежних контурів.

 

 

 

      Увага! Вітки із джерелами струму  у дерево графа не включаються.

САМОСТІЙНЕ ВИВЧЕННЯ.