83. Докажите, что для любых непрерывных на отрезке [a,b] функций f (X) и g(X) справедливо равенство

Теорема: интеграл от суммы функций f(x) и g(x) на отрезке [a;b] равен сумме интегралов от этих функций на том же отрезке.

Доказательство:

Из свойств неопределенного интеграла следует, что, если F(x) – первообразная для f(x), G(x) – первообразная для g(x), то первообразная (f(x)+g(x)) равна F(x)+G(x). Следовательно,

Интеграл (f(x)+g(x))dx=(F(b)+G(B))-(F(a)+G(a))=(F(b)-F(a))+(G(b)-G(a))=интеграл f(x)dx+интеграл g(x)dx

85. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом. При каких значениях a сходится интеграл

Если существует конечный предел lim_b→+∞ инт f(x)dx, то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от функции f(x) на интервале [a;+∞). При этом говорят, что интеграл f(x)dx сходится.

= =lim_x→+∞ -

Этот интеграл сходится, если существует предел lim_x→+∞ , а он существует при α>1.

Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается .

=lim_ε→0+0=lim_ε→0+0()=-lim_ε→0+0

Данный интеграл сходится, если сходится предел lim_ε→0+0, а он сходится при 0<α<1.

87. cos4xdx=lim_x→+∞dx-1/4*(sin0)= lim_x→+∞dx – расходится, т.к.

lim_x→+∞dx не существует.

88. dx= lim_x→-∞ = -0= - сходится.

89. =lim_ε→0+0=lim_ε→0+0(-2+2)=2 – сходится.

90.=lim_ε→0+0()=lim_ε→0+0()=

=lim_ε→0+0()=lim_ε→0+0()=+∞ - расходится

91. Дайте определения числового ряда и его суммы. Найдите сумму ряда

Пусть дана числовая последовательность a1.a2.a3..an… . Выражение вида (*) называют числовым рядом, или просто рядом. Суммы конечного числа первых членов ряда ; ; ; …, называются частичными суммами ряда. Они образуют числовую последовательность. Если эта последовательность сходится, т. е. имеет предел , то ряд (*) называется сходящимся, а число S - суммой ряда.

Запишем как: 1+1*0,2+1*

Это геометрическая прогрессия: b=1, q=0,2. Значит

- сумма данного ряда.

92. Рассмотрев последовательность частичных сумм ряда, докажите, что при ряд расходится.

Это геометрическая прогрессия, где b₁=1,b₂=q,b=q²

Sn=b1*(qⁿ-1)/(q-1)= (qⁿ-1)/(q-1)

При |q|>=1и n→∞ (по условию), значит, qⁿ→∞. Значит Sn=qⁿ-1/(q-1)=∞. Значит ряд расходится.

93. Может ли ряд cходиться, если ряд сходится, а ряд

расходится?

Ряд ∑_(n=1)(a_n+b_n) будет сходиться, если будут сходиться два ряда ∑_(n=1)a_n и ∑_(n=1)b_n.

Но так как это условие не выполняется (b_n-расходится), то сумма двух числовых рядов a_n и b_n тоже будет расходиться.

94. Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю. Эквивалентная формулировка: Если предел общего члена ряда не равен нулю или не существует, то данный ряд расходится.

Доказательство. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального n имеем , или (*). При обе частичные суммы и стремятся к пределу S, поэтому из равенства (*) следует, что . Мы установили только необходимое условие сходимости ряда, т. е. условие, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно доказывать только расходимость ряда.

Пример: В этом случае предел общего члена ряда, очевидно, равен нулю, однако ряд расходится. Действительно, если бы данный ряд сходился, то сходился бы и ряд , полученный из данного ряда группировкой членов. Но общий член последнего ряда равен 1, и для него не выполнен необходимый признак сходимости.