Определение

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка k равны нулю (M_k = 0).

Тогда , если они существуют. Связанные определения Базисный минор

• Ранг матрицы M размера называют полным, если .

• Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где . Строки и столбцы, на

• пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены

• неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)[править] Свойства Теорема (о базисном миноре):

• Пусть  — базисный минор матрицы A, тогда: базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

• любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).Следствия: Если ранг матрицы

• равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы. Если A — квадратная матрица,

• и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы. Пусть , тогда максимальное количество

• линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r. Теорема (об инвариантности ранга при элементарных

• преобразованиях): Введём обозначение A∼B для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями.

• Тогда справедливо утверждение: Если A∼B, то их ранги равны.Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных

• алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

• В частности: Количество главных переменных системы равно рангу системы. Совместная система будет определена (её решение

• единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

[править]Линейное преобразование и ранг матриц Пусть A — матрица размера над полем C (или R). Пусть T — линейное преобр

азование, соответствующее A в стандартном базисе; это значит, что T(x) = Ax. Ранг матрицы A — это размерность области

значений преобразования T.