6.2. Свойства скалярного произведения

    1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

 

Решение:                                                             

5. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0b, то а b

.

6.3. Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:

  

    т.е

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

15) Определение

Векторным произведением вектора на вектор в пространстве называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ; между ними

• вектор ортогонален каждому из векторов и

• вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

• в случае пространства требуется ассоциативность тройки векторов .

Обозначение:

В литературе^[1] определение векторного произведения может даваться по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат. А далее выводится данное выше определение, а также определение правой и левой тройки векторов.

Свойства Геометрические свойства векторного произведения

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

• Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и (см. Рисунок 1)

• Если  — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка  — правая, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

• Если  — какой-нибудь вектор, π — любая плоскость, содержащая этот вектор,  — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к ,  — единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора справедлива формула

• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0, если векторы параллельны.