2.2. Критерии для принятия решений

Для решения данной задачи необходимо рассмотреть матрицу рисков R и ряд критериев, которые применяются для решения игр с природой. Элементы матрицы r_ij представляют собой разность между выигрышем, который получил бы игрок А, если бы знал состояние природы П_ij, и выигрышем, который он получит в тех же условиях, применяя стратегию А_i, то есть

r_ij = β_j - α_ij, где β_j = max α_ij.

При решении игр с природой применяется ряд критериев.

1. Если известно распределение вероятностей q_j (j =), ∑q_j=1 различных состояний природы П_j, то применяется критерий Байеса: критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша (минимум математического ожидания риска).

Запишем платежную матрицу (α_ij) и матрицу рисков г_ij в виде таблицы 1.1. и таблицы 1.2.

^{Таблица 1.1.}

Стратегии Аi	П1	П2	…	Пn	Средний выигрыш ai
А1	a11	a12	…	a1n	a1
А2	a12	a13	…	a2n	a2
…	…	…	…	…	…
Аm	am1	am2	…	amn	am
qj	q1	q2	…	qn

Стратегии Аi	П1	П2	…		Пn		Средний риск rij
А1	r11	r12	…	r1n		r1
А2	r12	r13	…	r2n		r2
…	…	…	…	…		…
Аm	rm1	rm2	…	rmn		rm
qj	q1	q2	…	qn

^{Таблица 1.2.}

По критерию Байеса за оптимальную принимается та стратегия А_i, при которой максимизируется средний выигрыш, то есть обеспечивается

а = max а_i, где ∑ a_ijq_j() и минимизируется средний риск, то есть обеспечивается г = min r_i, где r_i=∑ a_ijq_j.

2. Если все состояния природы равновероятны, то есть q₁=q₂=…q_n =l/n, то используется принцип недостаточного основания Лапласа. Оптимальной считается стратегия, обеспечивающая максимум среднего выигрыша.

3. Максимальный критерий Вальда совпадает с критерием выбора максимальной стратегии, позволяющей получить нижнюю цену α игры для двух лиц с нулевой суммой, то есть

а = max min a_ij

4. Критерий минимального риска Сэвиджа рекомендует выбирать стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в наихудших условиях, то есть обеспечивается max min r_ij

Критерии Вальда и Сэвиджа выражают пессимистическую оценку ситуации.

5. Критерий Гурвица рекомендует принимать решение о выборе стратегии, при которой имеет место max(λ min a_ij + (1-λ) max a_ij), где 0 ≤ λ ≤ 1

Значения λ выбираются исходя из опыта или по субъективным соображениям. При λ = 0 имеет место критерий крайнего оптимизма, при λ = 1 — критерий пессимизма Вальда.