3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значения функции связаны с понятием экстремума функции.

Определение. Максимумом или минимумом функции называются такие ее значения , для которых имеют место неравенства (для случая максимума) и (для случая минимума) при любых значениях , положительных и отрицательных.

Таким образом, в точках максимума (минимума) значение больше (соответственно меньше) всех соседних значений функции.

В математическом анализе понятия максимума и минимума объединяются одним словом «экстремум».

Сформулируем необходимое условие экстремума.

Если функция имеет в точке максимум и минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. е. .

Корни уравнения называются критическими точками функции .

Для определения экстремума в критических точках используют достаточные условия. Подробно с достаточными признаками экстремума можно ознакомиться в учебнике [1, с. 159 – 160]. Мы сформулируем правила исследования на экстремум функции.

1. Находим область определения функции (ООФ).

2. Находим критические точки. Для этого первую производную приравниваем к нулю () или определяем, в каких точках производная равна или не существует.

3. Проверяем, принадлежат ли критические точки ООФ. Если нет, то их отбрасываем.

4. Проверяем знак левее и правее критических точек. Если знак меняется с плюса на минус, то в точке максимум; с минуса на плюс, то эта точка минимума.

Пример 14. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. 1) ООФ – все действительные числа ().

2) Находим критические точки:

,

, , , .

3) ООФ, ООФ, ООФ.

4) , если ; , если ;

, если ; , если ;

, если ; , если .

Значит, в точке данная функция достигает минимума; ; в точке экстремума нет; в точке – максимум; .

Сформулируем правила для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке :

1. Находим ООФ.

2. Проверяем, принадлежат ли ООФ.

3. Находим критические точки.

4. Проверяем, принадлежат ли они .

5. Находим значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку , и на концах , , .

6. Выбираем наибольшее и наименьшее значения.

Пример 15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. 1) ООФ – все действительные числа;

2) ООФ;

3) Находим критические точки: ; ;

; ;

4) , ;

5) ; ; .

Ответ: ; .

Пример 16. Тело двигалось со скоростью . Найти наибольшую и наименьшую скорость в течение 5 секунд движения.

Решение. Находим производную и критические точки . Значит, внутри отрезка имеется только одна критическая точка . При функция имеет максимум, равный 129, который и дает наибольшее значение скорости: см/с. Вычислим при и при . Получим соответственно 1 и 116. Следовательно, наименьшее значение скорости см/с; такую скорость тело имеет в начальный момент .

4. Правило лопиталя

При вычислении предела отношения может оказаться, что при числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, то есть являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими величинами. Говорят, что в этих случаях мы имеем дело с неопределенностями вида или . Вычисление предела в этом случае называется «раскрытием неопределенности» и производится по правилу Лопиталя.

Правило Лопиталя. Пусть заданы две функции и и выполняются условия:

1. и или

и ;

2. они имеют первые производные в окрестности точки (за возможным исключением самой точки );

3. и в окрестности точки ;

4. существует , тогда существует и имеет место равенство , если этот предел существует конечный или бесконечный.

Сущность этого правила состоит в том, что в случае «неопределенностей» вида или вычисление предела отношения функций, при соблюдении указанных требований, заменяется вычислением предела отношения их производных, которое в большинстве случаев оказывается проще.

В случае, когда и отношение производных приводит в «неопределенностям» вида или , снова применяют правило Лопиталя.

Пример 17. Найти .

Решение. Если в данную дробь поставить вместо , то получится «неопределенность» вида . Применяя правило Лопиталя, получим:

.

Пример 18. Найти .

Решение. Здесь имеет место неопределенность . Применяем правило Лопиталя:

.

В этом примере правило Лопиталя применили два раза.

Отметим, что правило Лопиталя применяется для раскрытия только «неопределенностей» вида и . Все остальные виды «неопределенностей» (, , , , ) сначала приводятся к «неопределенностям» или с помощью различных преобразований, а затем применяется правило Лопиталя.

Раскрытие «неопределенности» :

Если и , то для определения предела надо преобразовать разность к виду

,

тогда

и раскрываем по правилу Лопиталя.

Пример 19. Найти .

Решение. Если в данную дробь поставить вместо , то получится «неопределенность» . Выражение, стоящее в скобках, приводим к общему знаменателю и получаем:

.

Раскрытие «неопределенности» .

Пусть , ;

или ,

тогда

,

то есть «неопределенность» вида может быть сведена к «неопределенности» вида или .

Пример 20. Найти .

Решение. При , а – величина бесконечно малая, поэтому здесь имеет место «неопределенность» вида .

.

«Неопределенности» вида ; ; .

«Неопределенности» этих видов сводятся к «неопределенности» вида , которая была рассмотрена выше. Это достигается с помощью тождества.

; (),

тогда и все сводится к определению предела .

Пример 21. Найти .

Решение. ; , поэтому

.

Найдем

.

Окончательно получаем .