Задание 8

Заданы нечеткие множества и , где:

,

на четком множестве . Найти нечеткое множество такое что:

8.1) ;

8.2) ;

а также степень взаимного включения множеств и .

Теоретическая часть:

- нечеткое множество:

, где - функция принадлежности к нечеткому множеству.

Элементы , для которых степень принадлежности к больше нуля – подмножество элементов - носитель .

Логика Заде:

Нечеткое высказывание - предложение или предположение, на основании которого можно судить о степени истинности его в настоящее время.

0 – ложное, 1 – истинное, 0.5 – индифферентно.

Операции нечеткой логики:

- высказывание, степень истинности которого: ;

;

;

;

;

, - нечеткие множества, тогда:

- степень включения в :

- нечетко не включается в .

- нечетко включается в .

- и нечетко равны.

;

;

;

;

Практическая часть:

1.1)

2.1)

;

Степень включения:

1)

Т. о. нечетко не включается в .

2)

Т. о. нечетко не включается в .

Задание 9

Доказать, что если кольцо содержит не более 3-х элементов, то оно коммутативно.

Кольцом называется непустое множество R, для элементов которого определены две бинарные операции - сложение и умножение, причем предполагаются выполненными следующие аксиомы колец (a, b, c О R):

1. Коммутативность сложения: a+ b = b + a.

2. Ассоциативность сложения: a +  (b +  c) = (a + b) +  c.

3. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение a +  x = b имеет решение x = b -  a  О R.

4.   Дистрибутивность умножения относительно сложения: a (b + c) = a b +  a c и (b + c) a = b a +  c a.

Если ab=ba, то кольцо называется коммутативным

Докажем коммутативность для колец содержащих 1,2,3 элементов:

1. Для кольца содержащего 1 элемент:

Любая циклическая группа G является коммутативной, потому что для любых x и y из G верно, что xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx.

В теории групп группа называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число)

Так как данном случае кольцо содержит всего одно число, то его можно представить как циклическую группу. Отсюда следует что кольцо с одним элементом является коммутативным.

2. Для кольца содержащего 2 элемента:

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямое произведение своих циклических подгрупп порядков являющихся степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда 'G' не имеет элементов бесконечного порядка. Z_mn изоморфно произведению Z_m и Z_n тогда и только тогда когда m и n взаимнопросты. Следовательно, можно записать абелеву группу G в форме прямого произведения

двумя различными способами:

• Где числа k₁,…,k_u степени простых

• Где k₁ делит k₂, который делит k₃ и так далее до k_u.

Мы уже выяснили чуть выше что кольцо состоящее из одного элемента коммутативно. А кольцо состоящее из двух элементов может быть разложено в прямое произведение двух циклических групп порядка 1, следовательно исходя из теоремы о конечной абелевой группе мы можем сказать что кольцо из 2-х элементов тоже коммутативно.

3. Для кольца содержащего 3 элемента:

Исходя из вышеописанных рассуждений мы можем таким же методом разложить кольцо состоящее из 3-х элементов на две циклические группы порядка 2 и 1. Следовательно исходя из теоремы о конечной абелевой группе мы можем сказать что кольцо из 3-х элементов тоже коммутативно.

Мы доказали что кольцо состоящее из не более чем 3-х элементов является коммутативным.