24. Отображение метрических пространств.
Ранее рассматривалось общее понятие ф-ции (отображения).
Это понятие можно рассмотреть на случай когда в качестве мн-в Х и У могут выступать разные мн-ва (мн-ва принадлежащие разным метрическим пр-вам с разной метрикой).
(нарисовать
самим)
У
-
метрика в М,
-
метрика в
у=f(x),
х
Х
у=Fx,
у
У
очень часто вместо слова ф-ция при отображении метрических пространств употребляется слово оператор.
F:
Х
У
F – оператор
f – оператор
т.к в метрических пространствах имеет место понятие окр-ти то легко для случая метрических пространств понятие о пределе непрерывности, равномерной непрерывности.
25.Связные множества. Свойства непрерывных отображений связных множеств.
Оператор
f
называется непрерывным в т-ке
Если
по заданному
можно найти такое
которое
годится сразу для всех х, то, говорят,
что оператор f
явл-ся равномерно непрерывным т.е f
– равн непр оп
(
)(
=
)
Опр-ие: мн-во Е метрического пр-ва М наз-ся связным если при любом разбиении его на две непересекающиеся части хотя бы одно из них содержит точку прикосновения другого множества.
Др словами связное мн-во нельзя разбить на несоприкасающиеся части.
Пример связного мн-ва. Интервал, отрезок, полуинтервал, круг.
Например
любое дискретное числовое мн-во не
связное. Два круга рассматриваются как
единое мн-во. Пусть мн-во Е метрического
пр-ва М является связным множеством.
Пусть оператор f
преобразует это мн-во f: Е
в другое метрическое пространство.
Мн-во
будет связным, если оператор f
будет непрерывно. Другими словами,
связность – св-во мн-ва яв-ся инвариантом
непрерывных отображений.
Справедлива сл теорема:
Теорема: образ связного мн-ва при непрерывном отображении явл-ся связным мн-вом.
Пример1.
-
шар радиуса
с центром в т-ке
без
границы (с границей) мн-во будет связным,(
но не открытое)
Опр-ие: связное открытое мн-во наз-ся областью.
Пример2.
предыдущий в скобках.
.
Пример3.
,
то мн-во связное, но не отврытое (т.к т-ка
не внутренняя точка мн-ва)
мн-во не связное(т.е не область).
26.Сжимающие отображения. Т Банаха.
Пусть
в полн. метр. пр-ве Х задан оператор Ах,
переводящий эл-ты Х
Х
Отобр-е А: Х
Х
назыв сжимающим,
если
такое
число
(0<
<1),
что
(Ах,Аy)
(x,y),
x,y
X.
Отобр-е А: Х
Х
имеет неподвиж.
точ.x0
если А x0=
x0
Теорема: сжим. отоб-е А полн. метр. пр-ва в себя имеет и притом единств. непод.точ.
Док-во:
пусть Х-полн.метр.пр-во и А: Х
Х-сжим.отоб-е.
1)х
X-произв.
фиксир. эл-т.Построим послед-ть эл-ов
{xn}
по след. закону: х1=Ах,
х2=Ах1,
х3=Ах2
… xn=Axn-1
и док-м, что {xn}сходится
в себе, т.е.
(xn,xm)
0
(n
)
m=n+p,т.е.
.
е>0
n0,
n,m>n0
(xn,xm)<е
Оценим
(x1,x2)=
(Аx,Аx1)
(x,х1)
=
(x,Ах),
(x2,x3)=
(Аx1,Аx2)
(x1,х2)
2
(x,Ах),
(x3,x4)
=
(Аx2,Аx3)
(x2,х3)
3
(x,Ах)…
(xn,xn-1)=
(Аxn-1,Аxn)
(xn-1,хn)
n
(x,Ах).
(xn,xm)=
(xn,xn+p)
(xn,хn+1)+
(xn+1,хn+2)+…+
(xn+p1,хn+p)
n
(x,Ах)+
n+1
(x,Ах)
+…+
n+p-1
(x,Ах)=
(x,Ах)(
n+
n+1+
…+
n+p-1)
(x,Ах)
если n
,то
0,
(xn,xm)
0
2)Док-м,что
x0
X,
А x0=
x0.
В силу полноты Х
x0
X,
что
(xn,x0)
0,
т.е.
е>0
n0,
n>n0
(xn,x0)<е
. док-ем, что А x0=
x0,
т.е.
(Аx0,x0)=0
(x0,Аx0)
(x0,xn)+
(xn,Аx0)=
(x0,xn)+
(Axn-1,Аx0)
(x0,xn)+
(xn-1,х0)
e/2+
e/2
(т.к.
е очень мало)
[
n0,
n,n-1>n0
(xo,xn)<е/2,
(xn-1,x0)<е/2
] 3) док-м, что x0
-единств.
Пусть x,y-непод.
точ., тогда А x=
x,
А y=
y
,
(Ax,Аy)
(x,y),
(x,y)>0,то
1,а
<1