Полярная система координат

Полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (ρ,φ).

Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта O (полюс) и луч Ox, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Координата ρ определяет расстояние от точки до полюса, координата φ — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку. Координата φ берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида (ρ,φ+2πn), которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных n. Для полюса ρ = 0, а угол φ произвольный.

Иногда допускаются отрицательные значения ρ, в этом случае координаты (ρ,φ) и ( - ρ,φ + π) определяют одну и ту же точку плоскости.

Примеры использования.

Уравнение прямой на расстоянии D от полюса: ρ = D / cos(φ + α).

Уравнение окружности с центром в полюсе и радиуса R: ρ = R.

Уравнение окружности, проходящей через полюс, и радиуса R: ρ = 2Rcos(φ + α).

Уравнение эллипса с фокусом в полюсе: .

Формулы перехода.

От полярной системы координат к декартовой:

От декартовой системы координат к полярной:

2. Скалярное произведение двух векторов Определение скалярного произведения (сп)

Определение. СП двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение будем обозначать символом , угол между векторами - .

По определению:

(1)

Можно сформулировать другое определение СП двух векторов, эквивалентное определению.

Из теоремы имеем:

(проекция вектора на ось вектора ).

Отсюда получаем

Определение:

или

(2)

Геометрические свойства сп

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство. 1). Необходимость. Пусть векторы ортогональны, - угол между ними. Тогда cos=0 и, в силу формулы (1) ,.

2). Достаточность. Пусть . Докажем, что векторы ортогональны. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то он ортогонален любому вектору.

Если же векторы ненулевые, то, поэтому из равенства вытекает, что cos=0, т.е. векторы ортогональны, ч.т.д.

Замечание.

Углом между двумя векторами считаем тот, который не превосходит . (0   )

Из формулы (1) следует

Теорема. Два ненулевых вектора составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их СП положительно(отрицательно).

Алгебраические свойства сп

1.

2.

3.

4. , если - ненулевой вектор, и

, если - нулевой вектор.

Свойство 1 следует из формулы (1).

Второе свойство получается из определения (формула 2) скалярного произведения:

.

Свойство 3 получаем из свойств линейности проекции вектора на ось и формулы (2) :

Четвертое свойство вытекает из формулы (1):

.

Выражение скалярного произведения (сп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк)

Теорема. Если два вектора определены своими ДПК:

,

,

то СП этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

Доказательство. По определению 1,

также.

, также

.

Используя алгебраические свойства СП, имеем

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов и является равенство

.

Следствие 2. Угол  между векторами определяется по формуле

.