7. Интегрирование тригонометрических функций
При
интегрировании функций вида
лучше придерживаться следующего правила:
1) если хотя бы одно из чисел n
или m – нечётное
положительное число, то, отделяя первую
степень соответствующего множителя,
подводим его под знак дифференциала, а
оставшуюся часть (чётную степень) этого
множителя выражаем через её ко-функцию,
пользуясь тождеством
,
и это приведёт к интегралу от степенной
функции; 2) если n
и m
– чётные числа, то с помощью формул
,
достигается упрощение вида подынтегральной
функции.
Пример 9.
Найти а)
;
б)
.
Решение. 
=
=
;
б)
.
Интегрирование
функций вида
, 
,
производится с помощью формул произведений
синусов и косинусов.
Пример 10.
Найти
.
Решение.
.
Интегрирование
функций вида R(sinx, cosx), где R – рациональная
функция двух переменных, производится
с помощью замены
.
При этом
,
,
,
.
Пример 11.
Найти
.
Решение.
=
=
.
8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегралы
вида
,
где R
– рациональная функция двух переменных,
выделением полного квадрата приводятся
к одному из следующих видов:
1)
; 2)
; 3)
.
Эти последние интегралы находятся с помощью подстановок:
1) t = a tgu или t = shu ; 2) t = a/cosu или t = chu ;
3) t = a sinu или t = a thu .
Пример 12. Найти
.
Решение.
=
=
=
.
Пример 13.
Найти
.
Решение.
=
=
.
Пример 14. Вычислить
.
Решение.
.
9. Определённый интеграл
Пусть
функция f(x)
определена на отрезке [a, b].
Разобьём этот отрезок точками
на n
частей [xk-1; xk],
;
обозначим
.
Число
,
,
назовём диаметром разбиения. Возьмём
в каждом частичном отрезке [xk-1; xk]
по точке tk
и образуем следующую сумму, называемую
интегральной:
.
Если существует
конечный предел интегральных сумм при
,
предел, не зависящий ни от способа
разбиения отрезка [a; b], ни от выбора
точек
,
то функция f(x) называется интегрируемой
на [a; b], а сам предел – определённым
интегралом от f(x) на [a; b] и обозначается
.
По определению положим
=
,
.
Если f(x) непрерывна на [a; b], то она интегрируема на [a; b].
К интегрируемым функциям относятся также:
1) монотонно возрастающие (убывающие) и ограниченные на [a; b];
2) ограниченные и имеющие лишь конечное число точек разрыва на
[a; b] .
Определённый интеграл обладает следующими свойствами:
-
если f(x) интегрируема на большем из отрезков [a; b], [b; c], [a; c], то f(x) интегрируема и на двух других и при этом
=
+
;
-
если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b], то
также интегрируема на [a; b] и при этом
=
+
;
-
если
интегрируема
на [a; b], то f(x) также интегрируема на
[a; b] и при этом
;
-
если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b] и f(x) g(x)
,
то
;
-
если f(x) интегрируема на [a; b] и m f(x) M
,
то
.
Теорема 2. Если F(x) – первообразная функции f(x), непрерывной на [a; b], то
(формула Ньютона–Лейбница).
Разность
часто обозначают
.
Пример 15.
Найти
.
Решение.
.
Теорема 3.
Пусть f(x) непрерывна на [a; b] и функция
удовлетворяет следующим условиям: 1) 
дифференцируема на
;
2)
,
;
3) значения
не выходят за пределы [a; b], когда t
пробегает значения из
.
Тогда
.
Пример
16. Вычислить
.
Решение.
1) Функция
непрерывна на интервале [4,6].
2) Применим
подстановку
и изменим пределы интегрирования. Если
,
то
и
.
Если
,
то
и
.
Отметим,
что функция
удовлетворяет на отрезке
условиям теоремы о замене переменной
в определенном интеграле, так как она
непрерывно дифференцируема, монотонна
и
и
.
3)
,
,
так
как
при
.
.
Пример 17.
Вычислить: а)
;
б)
.
Решение.
а) Сделаем замену переменного:
.
Тогда
;
;
меняются пределы интегрирования:
,
.
Имеем
.
б)
.
Теорема 4. Если u(x), v(x) дифференцируемы на [a; b], то
.
Пример 18. Вычислить
.
Решение.
.