§18. Критерий Коши.

Монотонность и ограниченность числовой последовательности являются достаточным признаком ее сходимости, но, очевидно, не необходимым. Укажем теперь признак, который является одновременно необходимым и достаточным.

Определение. Последовательность называется фундаментальной, если

.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы числовая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть последовательность сходится и . Докажем, что она фундаментальна. Так как последовательность сходится, то . Тогда при , имеем , а это и означает, что последовательность фундаментальна.

2) Достаточность. Пусть последовательность фундаментальна. Докажем, что она сходится. Сначала покажем, что последовательность ограничена. Действительно, из фундаментальности следует, что все члены , начиная с некоторого номера , удовлетворяют условию или, что то же , а поэтому образуют ограниченное множество. По теореме Больцано-Вейерштрасса из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Покажем, что является одновременно и пределом всей последовательности . Так как , то .

Так как последовательность - фундаментальна, то .

Обозначим через . Тогда при имеем , а это и означает, что последовательность сходится.

§19. Верхний и нижний пределы.

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел . Как было указано, из последовательности можно выделить бесконечным числом способов различные подпоследовательности. Будем рассматривать лишь сходящиеся подпоследовательности последовательности .

Легко показать, что если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность сходится и притом к тому же числу. Действительно, пусть , т.е. .

Рассмотрим любую подпоследовательность последовательности . Так как члены подпоследовательности являются членами последовательности , то при имеем и, следовательно, .

Ясно, что можно привести примеры последовательностей, которые расходятся, но их подпоследовательности сходятся. Например, из расходящейся последовательности можно выделить подпоследовательности и , которые сходятся, соответственно, к числам 0 и 1.

Определение. Число называется верхним (нижним) пределом последовательности действительных чисел , если существует подпоследовательность , сходящаяся к нему, и при этом всякая другая сходящаяся подпоследовательность последовательности сходится к числу не большему (не меньшему), чем .

Верхний и нижний пределы последовательности обозначаются соответственно и .

Так, для последовательности, приведенной выше: .

Последовательность может иметь только один верхний предел, так как если допустить, что и – два таких предела и , то существовала бы подпоследовательность , сходящаяся к, что противоречило бы тому факту, что есть верхний предел.

Для последовательности, неограниченной сверху (снизу), полагают .

Можно доказать, что для любой последовательности (как ограниченной, так и неограниченной) есть верхний и нижний пределы (конечные или бесконечные).

Лекция 11