5. Численное интегрирование

5.1. Постановка задачи численного интегрирования.

При вычислении определенного интеграла

,

где – непрерывная на отрезке функция, можно воспользоваться формулой Ньютона – Лейбница (в том случае, когда удается найти первообразную функции ):

= – , (5.1)

другими словами, определенный интеграл I численно равен площади, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и подынтегральной кривой.

Но в тех случаях, если не удается явно выразить первообразную в аналитической форме в элементарных функциях, или подынтегральная функция задается таблицей или графически, применяют методы приближенного (численного) интегрирования.

Численное интегрирование это есть приближенное вычисление интеграла по нескольким значениям подынтегральной функции, т.е., вычисляют площадь, ограниченную подынтегральной кривой, разбивая ее на ряд элементарных, легко вычисляемых площадей.

Для вычисления однократных определенных интегралов используются квадратурные формулы, а в случае кратных интегралов – кубатурные формулы (заметим, методы численного интегрирования в численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений обычно используется для понижения их порядка).

Графическая интерпретация численного интегрирования заключается в следующем.

Пусть на отрезке (рис. 5.1) задана функция . Отрезок с помощью точек разобьем на n элементарных отрезков (i = 1, 2, …, n; ). На каждом из этих отрезков выбираем произвольную точку и находим величину , которая является произведением значения функции в этой точке на длину элементарного отрезка :

.

Составляем сумму всех таких произведений – интегральную сумму:

. (5.2)

y

… …

a b

… … x

Рис. 5.1. Постановка задачи численного интегрирования

Определенный интеграл от функции на отрезке есть предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения (предполагается, что при этом длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю):

.

Заметим, существование определенного интеграла обосновывается следующей теоремой: Если функция непрерывна на отрезке , то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки, ни от выбора точек .

5.2.1. Метод прямоугольников.

Данный метод является простейшим методом численного интегрирования. В этом методе замена определенного интеграла интегральной суммой используется непосредственно. Так как выбор точек внутри каждого из интервалов произволен, в качестве могут выбраться или левые , или правые границы элементарных отрезков, или средние точки элементарных отрезков (так называемые полуцелые узлы), то есть = . Обозначив , формулы метода прямоугольников соответственно будут такие:

,

,

. (5.3)

Обычно под методом прямоугольников понимают метод, где используется формула (5.3) (так называемый метод средних).

Частным случаем этой формулы является ее применение при численном интегрировании с постоянным шагом (шагом интегрирования): (а – b) / n = const (i = 1, 2, …, n):

. (5.4)