3.2.2. Непрерывно-вероятностные модели

В класс НВ-моделей входят теория cтохастических дифференциальных уравнений и теория массового обслуживания [3].

Для задач исследования СУ наиболее подходящей концептуальной моделью служит теория массового обслуживания. которая применяется для построения математических моделей сложных систем управления отличающихся:

1) наличием потока многих заявок на выполнение определенных операций (заявок на обслуживание);

2) наличием многократно повторяемых операций (выходной поток).

Теория массового обслуживания разрабатывает и исследует математические модели различных по своей природе процессов функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например: поставок сырья и комплектующих изделий некоторому предприятию; заданий, поступающих на ЭВМ от удаленных терминалов; вызовов в телефонных станциях и т.д. При этом для функционирования таких систем характерна стохастичность (случайность) моментов времени появления заявок на обслуживание.

Сложная система S, описываемая как система массового обслуживания (СМО), состоит из L 1 взаимосвязанных и взаимодействующих элементов-приборов обслуживания ПО₁,… ПО_l. Каждый прибор обслуживания ПО_i состоит:

- из накопителя заявок Н_i в котором могут одновременно находиться l_i заявок , m_i - емкость накопителя H_i , т.е. число мест в очереди для ожидания начала обслуживания в канале.

- канала К_i обслуживания заявок; К_i (i= 1, L).

На каждый элемент прибора ПО_i поступают потоки событий; в накопитель H_i - поток заявок {v_i}, на канал K_i - поток "обслуживаний" {u_i}. Поток заявок {v_i} представляет последовательность времени между моментами появления заявок на входе СМО и образует подмножество неуправляемых переменных СМО. Поток {u_i} представляет собой последовательность интервалов времени между моментами начала и окончания обслуживания заявок и образует подмножество управляемых переменных. Заявки, обслуженные каналом К_i и заявки, покинувшие прибор ПО_i по различным причинам необслуженными (например, из-за конечности m_i или отсутствия времени на ожидание), образуют выходной поток {y_i} - последовательность интервалов времени между моментами выхода заявок; это и есть выходной сигнал СМО.

Процесс функционирования прибора ПО_i можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени

, где x_i1(t) - число заявок, находящихся в накопителе в момент времени t, x_i2(t) - состояние канала обслуживания К_i (x_i2(t) = 0, если канал свободен, x_i2(t) = 1, если канал занят).

Приборы обслуживания ПО, ..., ПО_L, связаны и взаимодействуют между собой. Если каналы {К_i} различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание. Если же приборы {ПО_i} или их параллельные блоки соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание. Все сказанное представлено на рис.3.6.

Для обозначения простых (однофазных) СМО используется символика, предложенная Кендаллом:

A/B/n/m.

Символ А характеризует входящий поток заявок:

-A = GI рекуррентный поток,

-A = М - простейший поток с показательным распределением вероятностей,

-А = Е_k, - поток Эрланга k-го порядка;

-А = D - регулярный или детерминированный поток (с постоянными интервалами между моментами поступления заявок ) .

Символ В характеризует случайные последовательности длительностей обслуживания на отдельных каналах:

-В = G или B = GI - рекуррентное обслуживание с одной и той же функцией распределения B(t) для разных каналов;

- В = М - показательное обслуживание;

- В = Е_k- эрланговское обслуживание k-го порядка;

- В = D- регулярное обслуживание.

Символ n означает количество обслуживающих каналов,

Символ m - количество мест для ожидания заявок в очереди.

Если n > 1, то система называется многоканальной. Значение m = 0 характеризует СМО с потерями; m = - систему с ожиданием; 0 < m < - систему с ограниченным числом мест для ожидания.

Рассмотрим пример, в котором имеется возможность аналитического определения показателей эффективности функционирования СМО (М/М/1).

Пусть процесс обслуживания начинается при отсутствии заявок в накопителе, тогда состояние СМО описывается следующей системой уравнений:

где Р_n(t) - вероятность нахождения системы в состоянии в момент t, т.е. когда в ней находятся n заявок.

Вероятность нахождения в системе n заявок в момент времени (t + t) равна сумме трех вероятностей:

1) вероятности нахождения в системе n заявок в момент t, умноженной на вероятность того, что за время t в систему не поступает ни одной заявки и ни одна заявил не будет обслужена ;

2) вероятности нахождения в системе (n - 1) заявки в момент t, умноженной на вероятность поступления одной заявки за время t, и ни одна заявка не будет обслужена;

3) вероятности нахождения в системе (n + 1) заявки в момент t, умноженной на вероятность ухода одной заявки, при условии не поступления ни одной заявки.

Заметим что

Образуя разностное уравнение и переходя к пределу, получаем дифференциальные уравнения:

Найдем выражение среднего числа заявок, находящихся в накопителе, и среднего времени ожидания заявок в накопителе для стационарного состояния при загрузке

Приравняв производные по времени t к нулю, получим уравнения:

Положим n =1, тогда (1+ )p₁ = p₂ + , повторяя эти операции, имеем р_n = , причем

.

Следовательно, получим, что р_n = рⁿ(1 - ) геометрическое распределение.

Среднее число заявок в системе равно:

,

.

Среднее число заявок, находящихся в накопителе, равно

.

Среднее время ожидания заявок в накопителе равно

.