4. Вычисления определенного интеграла Формула Ньютона – Лейбница

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и - какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то имеет место формула:

.

Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница. Используя краткое обозначение , эту формулу можно записать в виде

. (3)

Таким образом, вычисление определенного интеграла от непрерывной функции сводится к отысканию ее первообразной, то есть, по существу, неопределенного интеграла.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа:

1. На первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ;

2. На втором этапе находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Для подынтегральной функции произвольная первообразная имеет вид . Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: . Тогда .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.

Пример 3. Найдем интеграл . Поскольку , то по формуле Ньютона-Лейбница получаем .

Пример 4. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью и прямыми и , равна .

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке .

Если:

1) функция и ее производная непрерывны при ;

2) множеством значений функции при является отрезок ;

3) , , то справедлива формула

. (4)

Формула (3) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что:

1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )).

2. Часто вместо подстановки используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .

3. Не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение: Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда , . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом:

.

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит, . Следовательно:

.

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение: Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:

.