§12. Производные высших порядков.

Пусть функция дифференцируема на интервале . Производную называют производной первого порядка или первой производной функции . Если первая производная дифференцируема на интервале , то ее производную называют второй производной или производной второго порядка функции . Для производной второго порядка приняты следующие обозначения:

, или .

Аналогично определяется производная порядка n :

,

при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция .

Пример 1.

Найти функции .

Решение.

Найдем первую производную:

.

Тогда .

Пример 2.

Найти , если .

Решение.

Последовательно находим производные :

Пример 3.

Записать формулу для производной -го порядка, если .

Решение.

Имеем: , , .

Заметив закономерность в выражениях для , можно записать формулу для n-й производной , .

Пример 4.

Найти для функции, заданной параметрически:

.

Решение.

Используем правило однократного дифференцирования функций, заданной параметрически:

.

Находим первую производную данной в условии задачи функции:

.

Составляем теперь формулу для второй производной по тому же правилу дифференцирования функции, заданной параметрически:

.

Вторую производную записываем также в параметрической форме:

.

Пример 5.

Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение.

Находим и :

, , и подставим их в уравнение:

.

Получили верное равенство, значит функция удовлетворяет уравнению , что и требовалось показать.

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1. Найти , если .

2. Найти для функции, заданной параметрически:

.

Вариант 2.

1. Найти , если .

2. Найти для функции, заданной параметрически:

.

Вариант 3.

1. Найти , если .

2. Найти для функции, заданной параметрически:

.

Ответы.

Вариант 1.

1. ; 2..

Вариант 2.

1. ; 2..

Вариант 3.

1. ; 2. .

Список учебной литературы

1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб.пособие для вузов: В 2-х т. Т.1/ Н.С. Пискунов. –М.: Интеграл-Пресс, 2001. - 416с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2-х ч. Ч.1/ Д.Т. Письменный. –М.: Рольф, 2001. - 288с.

3. Щипачев, В.С. Высшая математика/ В.С. Щипачев. –М.: Высш.шк., 1988. – 479с.

4. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ Г.Н.Берман. –М.: Наука, 1985. – 416с.

5. Щипачев, В.С. Сборник задач по высшей математике/ В.С. Щипачев.

-М.: Высш.шк., 1998. – 304с.

6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч.1/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. –М.: Высш.шк., 1996. -304с.