19). Верхний и нижний пределы, их свойства.

МНОЖЕСТВО ЧАСТИЧНЫХ ПРЕДЕЛОВ ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ  Пусть {x _n } - ограничено

Рассмотрим

{a n } - sup k ≥ n x k {b n } - inf k ≥ n x k

ДОК-ВО: a _n ≥ a _{n + 1} , a _n убывает b _n ≤ b _{n + 1} , b _n возрастает {a _n } и {b _n } - ограничены  По критерию монотонной сходимости последовательности a _n и b _n сходятся  Ч.Т.Д. ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

lim n → ∞

sup k ≥ n

x n =:

lim n → ∞

x n

- верхний предел последовательности {x _n }

Аналогично

lim n → ∞

x n =

lim n → ∞

inf k ≥ 0

x k

ТЕОРЕМА Верхний предел наибольший из всех частичных пределов, нижний предел наименьший из частичных пределов ДОК-ВО(для верхнего предела): 1)

Покажем, что

lim n → ∞

x n =: c - частичный предел

a n

sup k ≥ n

x n

a _n → c, т. е. ∀ ε > 0 ∃ N( ε ) ∀ n > N |a _n - c| < ε  ε = 1 → N ₁ = N(1), Выберем m = N ₁ , тогда m > N ₁ , и |a _m - c| < 1 (т.е. c - 1 < a _n < c + 1) a _m = sup {x _m , X _{m + 1} , } ⇒ a _m-1 - уже не верхняя граница для этого множества Есть номер n n ₁ ≥ m, что |n - 1| < x _n ≤ a _m ⇒ x _n 1 ∈ (c - 2, c + 1)

ε =

1 2

⇒ N 2 = N(

1 2

)

Выберем m ₂ = max{N ₂ + 1, n ₁ + 1}, тогда 

|a m 2 - c| <

1 2

⇒ a -

1 2

< a n 2 <

1 2

- c

a _m 2 = sup {x _n 1 , x _m 2 + 1 } 

⇒ a n 2 -

1 2

- уже не верхняя граница

⇒ есть например n 2 ≥ m 2 что a n 2 -

1 2

< x n 2 < a m 2

⇒ x n 2 ∈ (c - 2

1 2

, c +

1 2

)

причём n ₂ > n ₁ , n ₄ , n _{k + 1} > n _k 

что x n k ∈ (c - 2

1 k

, c +

1 k

) ⇒ x n k → c

по демме о двух милиционерах они сходятся к с с - частичный предел 2) Если a - наибольший частичный предел, то a ≤ c Пусть x _n k → a

c =

lim n → ∞

x n =

lim n → ∞

a c a c = sup{x k :k ≥ n}

Т.е. ∀ ε > 0 ∃ N ∀ n > N |a _n - c| < ε  ⇒ при n > N (a _n < c + ε ), но a _n = sup {x _n : k ≥ n} ≥ x _n  ⇒ при k > N, n _k ≥ k > N ⇒ n _k > N ⇒ x _n k < c + ε , но x _n k → a, a ≤ c + ε  Итог: ∀ ε > 0, a ≤ c + ε ⇒ a ≤ c Ч.Т.Д. Замечания: 1) Аналогично нижний предел наименьший из всех частичных 2) Для существования верхнего предела достаточно ограниченности сверху, для нижнего - снизу Определение: {x _n } - ограничена сверху тогда и только тогда, когда ∃ c, что ∀ n x _n ≤ c