3.2. Перемещения и деформации. Тензор деформаций
Под действием внешних нагрузок упругое тело изменяет свою форму, деформируется. При этом точки тела принимают какое-то новое положение. Для определения деформации упругого тела сравним положения точек тела до и после приложения нагрузки.
Рассмотрим
точку
ненагруженного тела и ее новое положение
после приложения нагрузки. Вектор
называется вектором
перемещения
точки
(рис.3.2).
Рис.3.2.
Вектор перемещения точки
Возможны два вида перемещений: перемещение всего тела как единого целого без деформирования — такие перемещения изучает теоретическая механика как перемещения абсолютно твердого тела, и перемещение, связанное с деформацией тела — такие перемещения изучает теория упругости.
Обозначим
проекции вектора перемещения точки
на координатные оси
через
соответственно. Они равны разности
соответствующих координат точек
и
:
|
|
и являются функциями координат:
|
|
Деформирование
тела вызвано разницей в перемещениях
различных его точек. Бесконечно малый
параллелепипед с ребрами
вырезанный из упругого тела около
произвольной точки
,
вследствие различных перемещений его
точек деформируется таким образом, что
изменяется длина его ребер и искажаются
первоначально прямые углы между гранями.
На
рис.3.3 показаны два ребра этого
параллелепипеда:
и
длина ребра
равна
а ребра
—
Рис.3.3. Линейные и угловые деформации
После
деформации точки
принимают положение
При этом точка
получит перемещение, составляющие
которого в плоскости чертежа равны
и
Точка
отстоящая от точки
на бесконечно малом расстоянии
получит перемещение, составляющие
которого будут отличаться от составляющих
перемещения точки
на бесконечно малую величину за счет
изменения координаты
|
|
Составляющие
перемещения точки
будут отличаться от составляющих
перемещения точки
на бесконечно малую величину за счет
изменения координаты
|
|
Длина
проекции ребра
на ось
после деформации:
|
|
(3.5) |
Проекция
абсолютного удлинения ребра
на ось
|
|
Относительное
удлинение вдоль оси
|
|
(3.6) |
называется
линейной деформацией по направлению
оси
.
Аналогично
определяются линейные деформации по
направлениям осей
и
|
|
(3.7) |
Рассмотрим
изменение углов между ребрами
параллелепипеда (рис.3.3). Тангенс угла
поворота ребра
в плоскости
|
|
Вследствие
малости деформаций
а линейной деформацией
можно пренебречь ввиду ее малости по
сравнению с единицей, и тогда
|
|
Аналогичным
образом можно определить угол поворота
ребра
в той же плоскости:
|
|
Искажение
прямого угла
называется угловой деформацией и
определяется как сумма углов поворота
ребер
и
:
|
|
(3.8) |
Таким же образом определяются угловые деформации в двух других координатных плоскостях:
|
|
(3.9) |
Формулы (3.6)-(3.9) дают шесть основных зависимостей для линейных и угловых деформаций от составляющих перемещения. Эти зависимости называются уравнениями Коши:
|
|
(3.10)
|
В
пределе, когда длины ребер параллелепипеда
стремятся к нулю, соотношения Коши
определяют линейные и угловые деформации
в окрестности точки
Положительным линейным деформациям соответствуют удлинения, а отрицательным — укорочения. Угол сдвига считается положительным при уменьшении угла между положительными направлениями соответствующих координатных осей и отрицательным — в противном случае.
Аналогично тензору напряжений, деформированное состояние тела в данной точке описывается тензором деформаций
|
|
(3.11) |
Как и тензор напряжений, тензор деформаций является симметричной матрицей, которая содержит девять компонентов, шесть из которых являются различными.
НАЗАД НА ОГЛАВЛЕНИЕ ДАЛЕЕ