Формула прямокутників

[а,б] ділятьт на n рівних частин точками так, що Точки розбиття утворюють арифметичну прогресію з різницею h. Ці точки називаються вузлами. Потім у вузлах обчислюють ординати для (i=0,…n)

На числових відрізках будуть прямокутники висота яких дорівнює значенню ,в якійсь точці кожного частинного відрізку.

Тоді добуток -дають площу частинного прямокутника, а суми таких добутків дають площу фігури сходинки, що представляє наближене значення інтегралу .

Якщо обчислюють в лівих кінцях відрізків, то отримують фігуру лівих прямокутників

Правих з надлишком

Середніх

I=

Формула трапеції

На кожному частинному відрізку будується трапеція

Площі частинних

трапеції:

y

x

+.

Формула сімпсона

виразимо А і С через

Тоді площа під параболою

Тепер обчислимо інтеграл. Для цього відрізок розіб’ємо на 2n рівних частин довжиною

або

, де

Похибки

Сер. Прям.

Трапецій

Сімпсона

Але для оцінки похибки інтегрування використовують метод автоматичного вибору кроку інтегрування для досягнення заданої точності.

Алгоритм

1. при початковому n береться

2. обчислюємо

3. зменшуємо h в два рази і для цього обчислюємо

4. порівнюємо два значення

5. отримане значення R порівнюємо з попередньо заданою точністю E.

Якщо , то І повторюється 3,4і5 до .

Універсальні алгоритми обчислення коренів нелінійних та трансцендентних рівнянь

Універсальні алгоритми обчислення коренів рівнянь засновані на тому, що виходять з якого-небудь уже відомого наближеного значення х₀ одного з коренів, яке потім покращують до заданої степені точності. При цьому немає суттєвого значення як знайдено це перше наближення шуканого кореня. Часто перше наближення отримують за допомогою грубого попереднього підрахунку або графічно. (Точки перетину графіка функції F(x) з віссю абсцис дають наближене значення шуканих коренів з похибкою, яка залежить від масштабу та точності графіків).

Алгоритми наближеного знаходження коренів нелінійних рівнянь складаються із 2 етапів:

1. Відшукання достатньо малих відрізків, що належать області визначення рівняння, в кожному із яких знаходиться один і тільки один корінь рівняння. Це етап відділення коренів рівняння або визначення відрізка ізоляції коренів.

2. Обчислення коренів з наперед заданою точністю, якщо відоме деяке початкове наближення у відрізку ізоляції. Це етап уточнення наближених коренів.

F(x) = P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +…+a₀

n = 1 – лінійне

n ≥ 2 – нелінійні

f(x) = φ(x) (1)

f(x) - φ(x) = 0

F(x) = 0 (2)

Трансцендентні, якщо F(x) містить тригонометричну, показникову або логарифмічну функцію.