Вопрос 17. Смежные классы. Теорема Лагранжа.

Определение 1:

Говорят, что элементы а, b группы G сравнимы по подгруппе H справа (слева), и пишут а = b(Н)п (а = b(H)л) , если ab^-1 ∊ H (а^-1b ∊ H). Если G — абелева группа, то отношения сравнимости по H справа и слева совпадают.

Определение 2:

Правым (левым) смежным классом группы (G, •) по ее подгруппе H с представителем g ∊ G называется множество Hg (множество gH).

Теорема 1:

Пусть Н — подгруппа группы (G, •) Тогда:

а) отношение сравнимости на G по подгруппе Н справа есть отношение эквивалентности;

б) для любого g ∊ G класс элементов, сравнимых с g пo H справа, есть Hg. Любые два правых смежных класса группы G по подгруппе Н либо не пересекаются, либо совпадают. Группа G распадается на непересекающиеся правые смежные классы по подгруппе Н.

Аналогичные утверждения верны для левых смежных классов группы G по подгруппе Н и отношения сравнимости по Н слева.

Доказательство:

а) Обозначим, для краткости, отношение сравнимости на G по Н справа через р, т. е. положим Va, b ∊ G: apb <=> а = b(Н)п <=> ab^-1 ∊ H.

Отношение р — рефлексивно, так как е ∊ H, и симметрично, так как в Н существует обратный для каждого элемента из H. Наконец, р — транзитивно, так как если apb и bрс, то аb^-1 ∊ H, bc^-1 ∊ H , и потому

ac^-1 = (ab^-1) • (bc^-1) ∊ H, т. е. aрc.

. б) Для каждого g ∊ H класс всех элементов, р — эквивалентных g, имеет вид = {а ∊ G : аg^-1 = h, h ∊ H} = {a ∊ G : а = hg, h ∊ H} = Hg. Теперь из общих свойств отношений эквивалентности следует, что для любых g1,g2 ∊ G классы Нg1 = и Нg2 = либо не пересекаются, либо совпадают, и если {Н: α ∊ А} — множество всех различных правых смежных классов G по H, то G = .

Теорема 2:

а) Любые два правых (левых) смежных класса группы

G по подгруппе H равномощны. В частности, в конечной группе G для

любого g ∊ G верны равенства |Н| = |Нg| = |gН|.

б) Множество υ правых смежных классов G по Н равномощно

множеству £ левых смежных классов G по Н.

Доказательство:

а) Достаточно заметить, что отображение φ: H—>Hg , определяемое формулой Vh ∊ H (φ(h) = hg) ,есть биекция. Следовательно, все смежные классы G по H равномощны H.

б) Для любых g1,g2 ∊ G справедливы импликации:

H = Hg1g2^-1 ∊ H  (g1^-1)^-1g2^-1 ∊ H  g1^-1H = g2^-1H.

Отсюда следует, что отображение ψ: υ—> £ определяемое условием VHg ∊ υ: ψ(Нg) =g^-1H, задано корректно и инъективно. Его сюрьективность очевидна. Таким образом, ψ— биекция.

Определение 2:

Индексом подгруппы Н в группе G называют число правых (левых) смежных классов G по H, если это число конечно, и бесконечность — в противном случае. Индекс H в G обозначают через |G : Н|. Очевидно, что если H < G, то H = G  |G : Н| = 1.

Теорема Лагранжа:

Порядок подгруппы H конечной группы G делит порядок G и |G| = |G : Н| • |H|.

Доказательство:

Разложение G на правые смежные классы по подгруппе H имеет вид G = HU.. .U H, где k = |G : H|. Отсюда |G| = |H| + .. . + |H| и ввиду утверждения а) теоремы 2 |G| = к |Н|.