1.5. Течение жидкости по вертикальной поверхности

Математика не есть настоящее знание, она не ведет к блаженству. Частые и усидчивые занятия математикой Евклида вредны.

Мирандола.

Рассматриваемый тип течения характерен, например, для процесса пленочной абсорбции и других подобных процессов. Схема течения и система координат представлены на рис. 1.6. Имеем плоскую стенку. Течение жидкости ламинарное, безволновое, стационарное. Начало координат поместим в месте, где течение жидкости стабилизировалось. При этом,  - толщина стабилизированной пленки жидкости.

Течение описывается уравнением движения (учитываются силы вязкого трения и собственного веса)

. (1.1)

Граничные условия задачи. Условие прилипания жидкости к стенке

х=0, =0, (1.2)

и отсутствие касательных напряжений на свободной поверхности (динамическое воздействие потока газа на поверхность жидкости не учитываем)

x=, . (1.3)

Проинтегрируем уравнение движения

.

Постоянная интегрирования С₁ находится из условия (1.3). Имеем С₁=g.

Применяя повторное интегрирование, получим выражение для скорости

.

Из условия (1.2) находим С₂=0.

Таким образом, профиль осевой скорости описывается параболической функцией

.

Максимальная скорость жидкости на поверхности пленки (при x=)

.

Найдем расход стекающей жидкости. Пусть ширина перелива В. Тогда расход определяется интегралом

.

Отсюда можем определить толщину ламинарной пленки, если задан расход жидкости

.

Из выражения видно, что чем выше вязкость жидкости , тем больше толщина пленки .

Пример.

Трубчатый абсорбер состоит из 100 вертикальных труб, внутренним диаметром 30 мм. Какой должен быть расход абсорбента для обеспечения на внутренней стенки каждой трубы слоя жидкости толщиной 2 мм? Вязкость абсорбента μ=2^.10^-3 Па^.с, плотность ρ=1100 кг/м³.

Решение.

Требуемый расход жидкости в одной трубе определяется формулой

.

Ширина пленки В равна периметру кольцевого сечения стекающей пленки

.

Подставив в расчетную формулу численные значения, найдем расход жидкости в одной трубе

.

Поскольку трубок 100 штук, то общий расход абсорбента составит

.

Задачи.

1. Как изменится толщина пленки в каждой трубке (в условиях рассмотренной задачи), если расход абсорбента увеличить в 2 раза?

2. Как измениться толщина пленки жидкости, если жидкость охладить (повысить ее вязкость)?

1.6. Установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрическим и призматическим трубам

Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.

Леонардо да Винчи.

Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой жидкости является так называемое ламинарное (слоистое) движение по цилиндрической трубе произвольного сечения, при котором линии тока – прямые линии, параллельные оси трубы. Этот вид движения жидкости достаточно распространен в технике и имеет важное значения для расчета технологического оборудования и трубопроводов.