25. Тест Голдфелда–Квандта гомоскедастичности случайных возмущений в схеме Гаусса – Маркова

Тест Голдфелда-Квандта предназначен для проверки предпосылки

Var(u₁)=Var(u₂)=…=Var(u_n)= Ϭ² теоремы Гаусса-Маркова о гомоскедастичности случайного остатка в модели y=a₀+a₁x₁+a₂x₂+…+a_kx_k+u (1)

E(u | x)=0, E(u² | x)= Ϭ_u²

т.е. для проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсий случайных остатков в уравнениях наблюдений y = X a + a :

H₀ : Var(u₁)=Var(u₂)=…=Var(u_n)= Ϭ² (2)

Неадекватность гипотезы (2) порождает негативные для МНК-оценок

a =f ⃰ (X, y )=f _МНК(X, y )=M(X) y =(X^TX)^-1X^T y

u₁² + u₂² + … + u_n²

Ϭ_u² = n – ( k + 1) определённые последствия.

Рассмотрим алгоритм теста (статистической процедуры) Голдфелда-Квандта, а затем проведём его обоснование. Тест Голдфелда-Квандта реализуется в итоге следующих шагов.

Шаг 1. Уравнения наблюдений объекта y = X a + a следует упорядочить по возрастанию суммы модулей значений предопределённых переменных модели (1), т.е. по возрастанию значений

z₁ = |x_1i| + |x_1i| +…+ |x_1i| (3)

Замечание. В этот пункт процедуры Голдфелда-Квандта заложена естественная предпосылка, что возможная гетероскедастичность случайного остатка в модели (1), т.е. зависимость его условий дисперсии Var(u) = E(u² | x) от объясняющих переменных модели, имеет специальный вид:

E(u² | x) = f(|x₁|+|x₂|+…+|x_k|) = f(z), (4)

Причём функция f(z) является либо возрастающей, либо убывающей. Нужно подчеркнуть, что если случайный остаток гомоскедастичен, то любая зависимость Var(u) = E(u² | x) от x, а частности зависимость (4), отсутствует. Добавим, что после вычисления в отдельном столбце листа Excel величин (3) упорядочение уравнений наблюдений y = X a + a осуществляется командой «Сортировка по возрастанию» из категории «Данные».

Шаг 2. По первым n′ упорядоченным уравнениям наблюдений объекта (где n′ удовлетворяет условиям

k+1 < n′, n′ ≈ 0,3n, (5)

k+1 – количество оцениваемых коэффициентов функции регрессии) вычислить МНК-оценки параметров модели и величину n′

ESS₁ = ∑ u_i², (6)

i=1

где

u_i = y_i – y_i = y_i – (a₀ +a₁x_1i + … + a_kx_ki) - (7)

МНК-оценка случайного возмущения u_i.

Замечание. Напомним, что функция ЛИНЕЙН Excel размещает величину ESS в ячейке Bn+5, т.е. во втором столбце последней строки выделенного массива.

Шаг 3. По последним n′ упорядоченным уравнениям наблюдений вычислить МНК-оценку параметров модели и величину ESS, которую обозначим ESS₂.

Шаг 4. Вычислить статистику

ESS₁

GQ = ESS₂ (8)

Шаг 5. Задаться уровнем значимости ɑ и с помощью функции FРАСПОБР Excel при количествах степеней свободы ʋ₁, ʋ₂, где

ʋ₁=ʋ₂= n′ - (k+1),

определить (1- ɑ)-квантиль, F_крит=F_1-ɑ распределения Фишера.

Шаг 6. Принять гипотезу (2), если справедливы неравенства

GQ ≤ F_крит (9)

GQ^-1 ≤ F_крит

т.е. при справедливых неравенствах (9) случайный остаток в модели (1) полагать гомоскедастичным. В противном случае гипотезу (2) отклонить как противоречащую реальным данным и сделать вывод о гетероскедастичности случайного остатка в модели (1).

Замечание. Обсужденный выше тест корректен в ситуации, когда случайные остатки в уравнениях наблюдений y = X a + a распределены по нормальному закону и все другие предпосылки теоремы Гаусса-Маркова справедливы.

Проведём обоснование теста Голдфелда-Квандта. Если вектор случайных остатков в уравнениях наблюдений имеет нормальный закон распределения и все предпосылки теоремы Гаусса-Маркова справедливы, то согласно

величины ESS₁ и ESS₂ являются случайными переменными и распределены (с точностью до множителя Ϭ_u²) по закону хи-квадрат с количеством степеней свободы n′-(k+1). Кроме того, согласно предпосылке

Cov(u_i,u_j)=0, i≠j

эти переменные независимые. Значит, и статистика (8), и обратная к ней величина GQ^-1 являются случайной переменной и имеют распределение Фишера с количествами степеней свободы ʋ₁, ʋ₂. Следовательно, критерием гипотезы (2) может служить множество

Z[H₁]=( F_1-ɑ, +∞). (10)

Если величина GQ (или величина GQ^-1) попадает в множество (10), то гипотезу (2) следует отклонить в пользу альтернативной гипотезы

H₁=H₀, (11)

Представляющей отрицание гипотезы (2), т.е. означающей гомоскедастичность случайного остатка в модели (1). Второе условие (приближенное равенство) в (5) обеспечивает максимальную мощность критерия (9).