12. Канонические уравнения метода сил.

Для получения дополнительных уравнений, , нужно превратить заданную n раз статически неопределимую систему в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид

(12.1)

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. — это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; — перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через X_k. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде

(12.2)

где — единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией т.е. реакцией, совпадающей по направлению с X_k, но равной единице.

Подставляя (12.2) в (12.1), получим

(12.3)

Физический смысл уравнения (12.3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (12.3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил

(12.4)

Вид уравнения (12.4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

Коэффициенты системы канонических уравнений (12.4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных — единичные перемещения, а свободные члены — грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы (), и побочные (). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е.