§21. Однополостный и двуполостный гиперболоиды

Однополостный гиперболоид – это поверхность, определяемая уравнением

(60)

где – заданные положительные числа. Исследуем форму этой поверхности. В сечении ее плоскостью получается эллипс с полуосями и С увеличением эти полуоси увеличиваются. В сечениях поверхности (60) плоскостью (с уравнением ) и плоскостью () получаются гиперболы

и

соответственно. Поверхность имеет вид, указанный на рис. 36. При получаем однополостный гиперболоид вращения ( – ось вращения).

На рассматриваемой поверхности лежат семейства прямых, которые называ-ются прямолинейными образующими. В частности, система уравнений

(61)

где – произвольное заданное число, в пространстве определяет прямую. Перемножив почленно уравнения системы, перейдём к уравнению (60). Следовательно, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению (60), т. е. точка принадлежит поверхности (60). Таким образом, прямая (61) лежит на поверхности. Изменяя значение величины в системе (61), получим семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (60). Другое семейство прямолинейных образующих этого гиперболоида определяется системой

где – произвольное число.

Двуполостный гиперболоид – это поверхность, определяемая уравнением

Рис. 37

(62)

где – заданные положительные числа. Рассекая поверхность (62) плоскостью (), в сечении получим эллипс с полуосями и (см. рис. 37). При плоскость и поверхность не пересекаются.

В сечениях поверхности (62) плоскостью () и плоскостью () будем иметь гиперболы и соответственно. При получим двуполостный гиперболоид вращения ( – ось вращения).

§22. Эллиптический и гиперболический параболоиды

Эллиптический параболоид – это поверхность, определяемая уравнением

(63)

где и – заданные положительные числа. Расcекая поверхность (63) плоскостью (), в сечении получим эллипс с полуосями и (см. рис. 38). Поверхность (63) пересекается с плоскостью () по параболе а с плоскостью () – по параболе При получим параболоид вращения ( – ось вращения).

Гиперболический параболоид – это поверхность, определяемая уравнением

(64)

где и – заданные положительные числа. Поверхность (64) пересекается с плоскостью () по параболе ветви которой направлены в положительную сторону оси (рис. 39). Рассекая поверхность (64) плоскостью , получим кривую, определяемую системой уравнений

или (65)

Рис. 39

Первое уравнение запишем так: Оно определяет на плоскости параболу с ветвями, направленными в отрицательную сторону оси причём вершина параболы имеет координаты При изменении h парабола (65) описывает поверхность, определяемую уравнением (64). Гиперболический параболоид содержит два семейства прямолинейных образующих, определяемых системами уравнений

и

где и – произвольные постоянные. Доказательство проводится так же, как и для однополостного гиперболоида.