1.2. Зоны Бриллюэна

Ранее использовалось понятие пространства импульсов, которое определялось путем задания составляющих импульсов в декартовой системе координат. Модуль волнового вектора или волновое число равно k=, а - длина волны де Бройля.

Тогда p=k, если нет , то , где =. (1.2.1)

Следовательно, импульс пропорционален волновому вектору k p=k, тогда вместо пространства импульсов можно рассматривать k - пространство, задаваемое составляющими k_x k_y k_z. Разрешенным энергетическим зонам в твердом теле соответствуют зоны в k пространстве. Области значений волнового вектора k, в пределах которых энергия электрона E(k), являющаяся периодической функцией k, испытывает полный цикл своего изменения, называют зонами Бриллюэна. На границах зон энергия претерпевает разрыв. Для одномерного кристалла первая зона Бриллюэна простирается от k= -/a до k= /a и имеет протяженность 2/a (см. рис. 1.6).

Как уже указывалось, из решения уравнения Шредингера для электрона, находящегося в периодическом потенциальном поле кристаллической решетки, следует, что собственные значения (разрешенные) энергии электрона должны быть периодическими функциями.

(1.2.2)

Кривая E(kx)называется дисперсионной кривой. Как видно из рисунка 1.7, для каждой из разрешенной зон справедливо соотношение (1.2.2), хотя кривые E(k_x)для разрешенных зон отличаются друг от друга. С ростом Е ширина разрешенных зон увеличивается. Если отрезок CD сдвинуть на 2/ax влево, а отрезок C1D1 на 2/ax вправо, то вторую зону Бриллюэна можно привести к первой. Первую зону Бриллюэна, куда перенесены E(kx) для разных энергетических зон называют приведенной зоной Бриллюэна (рис. 1.8.). В дальнейшем будут преимущественно рассматриваться лишь две верхние разрешенные энергетические зоны. Верхняя разрешенная зона называется зоной проводимости, а нижняя валентной зоной.

В реальных кристаллах направления составляющих волнового вектора k выбирают в соответствии с определенными кристаллографическими направлениями. Зависимости E(k) у реальных кристаллов являются достаточно сложными.

В качестве примера рассмотрим зонную структуру кремния для двух направлений в k пространстве. Минимум зависимости E(k) или дисперсионной кривой называют дном энергетической зоны, а максимум потолком зоны. Как видно из рисунка (1.9) дно зоны проводимости у кремния находится не в середине зоны Бриллюэна, а вблизи ее границы в направлении [100]. Вершина валентной зоны расположена в середине зоны Бриллюэна.

Минимальный зазор между валентной зоной и зоной проводимости принимается за ширину запрещенной зоны Eg.

При упрощенном рассмотрении энергетической структуры полупроводников вместо истинных дисперсионных кривых, E(k) ограничивающих валентную зону и зону проводимости, проводят две параллельные прямые: одну касательную к дну зоны проводимости, вторую касательную к вершине валентной зоны. Первую прямую принимают за нижнюю границу (дно) зоны проводимости, вторую за верхнюю границу (потолок) валентной зоны.

1.3. Эффективная масса электрона

Известно:

, (1.3.1)

. (1.3.2)

Кинетическая энергия свободного электрона равна E_k=E

. (1.3.3)

Подставим (1.3.2)

тогда (1.3.4)

D₁

D

C₁

C

B

K

E

Рис. 1.6

E

D₁

D

0₁

-2/

-/

2/

/

0

K

C₁

C

B

Рис. 1.7

K

E

-/ax

/ax

Рис. 1.8

Зона

проводимости

E_c

E_v

E_g

валентная

зона

0

k

k

[111]

[100]

Рис. 1.9

Продифференцируем E_k по k:

, (1.3.5 )

отсюда . (1.3.6)

Подставим (1.3.6) в (1.3.2)

. (1.3.6)

Формула (1.3.6) справедлива не только для свободного электрона, но и для электрона, находящегося в потенциальном поле.

Пусть энергия зонного электрона изменяется под некоторым внешним воздействии.

dE=FVdt . (1.3.7)

где F - внешняя сила

Подставим (1.3.6) в (1.3.7)

, (1.3.8)

отсюда . (1.3.9)

Продифференцируем (1.3.6) по времени

. (1.3.10)

Подставим (1.3.9) в (1.3.10)

. (1.3.11)

где а - ускорение.

Формула (1.3.11) связывает ускорение и силу, т.е. она выражает второй закон Ньютона F=ma; a=F/m.

Из (1.3.11) следует, что под действием внешней силы электрон в периодическом поле кристалла движется так, как двигался бы свободный электрон, обладающий массой

. (1.3.12)

Масса m* называется эффективной массой электрона. Приписывая электрону, находящемуся в периодическом поле кристалла массу m*, мы можем считать этот электрон свободным и описывать его движение во внешнем поле так, как описывается движение свободного электрона. Эффективная масса, отражающая особенности движения электрона в периодическом поле, является своеобразной функцией. Она может быть как положительной, так и отрицательной, а по абсолютному значению как меньше, так и больше массы покоя электрона. Эффективная масса свободного электрона равна массе покоя.

При движении электрона в периодическом потенциальном поле кристалла работа внешней силы может переходить как в кинетическую, так и потенциальную энергию электрона.

. (1.3.13)

Если часть работы внешней силы F=-q переходит в потенциальную энергию, то скорость электрона возрастает медленнее, чем у свободного электрона и следовательно его эффективная масс больше массы покоя. Если вся работа внешней силы переходит в потенциальную энергию, то скорость электрона изменяться не будет, и он будет вести себя, как частица с бесконечно большой массой.

В потенциальную энергию может переходить не только работа внешней силы, но и кинетическая энергия электрона. Скорость электрона будет в этом случае уменьшаться, т.е. он ведет себя как частица с отрицательной массой.

Возможен случай, когда в кинетическую энергию может переходить не только работа внешней силы, но и потенциальная энергия, тогда скорость электрона будет расти быстрее, чем у свободного, т.е. его эффективная масса будет меньше массы покоя. На рис. 1.10 показаны зависимости E, V, m* от волнового вектора k. Вблизи дна разрешенной зоны энергия m* электрона положительна, а у потолка зоны отрицательна. Точка А - точка перегиба зависимости E(k), в этой точке достигает максимума, а вторая производная равна 0, а m*. Поскольку k вектор, то m* зависит от направления движения электрона в кристалле.