3.2.6 Задача об оптимальном составе сплава

Для получения сплавов А и В используются четыре металла I, II, III и IV. Характеристики и запасы руд, из которых получают эти металлы, указаны в табл. 48.

Требования к содержанию металлов I, II, III и IV в сплавах, а также стоимости одной тонны сплавов при продаже приведены в табл. 49.

Необходимо максимизировать прибыль от продажи сплавов А и В.

Таблица 48

Руда	Максимальный запас, тонны	Состав, %					Цена, доллары за тонну
		I	II	III	IV	Другие компоненты
1	1000	20	10	30	30	10	30
2	2000	10	20	30	30	10	40
3	3000	5	5	70	20	0	50

Таблица 49

Сплав	Требование к содержанию металла	Цена одной тонны сплава, в долларах
А	Не более 80% металла I	200
	Не более 30% металла II
В	От 40% до 60% металла II	210
	Не менее 30% металла II
	Не более 70% металла IV

Решение включает этапы, описанные в пп. 3.2.2 -3.2.5.

3.2.6.1. Построение математической модели

1. Определение целевой функции

Обозначим количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава А, переменными Х_1А, Х_2А, Х_3А, Х_4А. Количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава В, обозначим переменными Х_1В, Х_2В, Х_3В, Х_4В.

Для обозначения количества используемой руды введем переменные Y₁, Y₂, Y₃.

Объем производимого сплава А (в тоннах) равен

Х_1А + Х_2А + Х_3А + Х_4А.

Аналогично объем сплава В равен

Х_1В + Х_2В + Х_3В + Х_4В.

Прибыль от продажи сплава А составит

Z₁ = 200 (Х_1А + Х_2А + Х_3А + Х_4А), (16)

а прибыль от продажи сплава В равна

Z₂ = 210 (Х_1В + Х_2В + Х_3В + Х_4В). (17)

Стоимость руд, использованных при литье металлов, равна

Z₃ = 30 Y₁ + 40 Y₂ + 50 Y₃. (18)

Тогда целевую функцию – прибыль предприятия – можно записать в виде разности между прибылью от продажи сплавов и затратами на руды

Z = Z₁ + Z₂ - Z₃. (19)

Или, подставляя выражения (16), (17) и (18) получим

Z = 200 (Х_1А + Х_2А + Х_3А + Х_4А) + 210 (Х_1В + Х_2В + Х_3В + Х_4В) -30 Y₁-40 Y₂ – 50 Y₃ (20).

2. Определение ограничений на переменные

Можно выделить четыре вида ограничений:

а) По физическому смыслу переменных – объемы используемых металлов и руд не могут быть отрицательными, следовательно

(21)

б) Ограничения на состав сплавов. Согласно табл.49, получаем

(22)

в) Ограничения на состав металлов согласно табл. 48:

(23)

г) ограничения по запасам руды:

(24)

Итак, для решения задачи нужно найти такие значения расходуемых объемов металлов Х_1А, Х_2А, Х_3А, Х_4А, Х_1В, Х_2В, Х_3В, Х_4В и руд Y_1, Y₂, Y₃, которые обеспечат максимальное значение целевой функции (20) при выполнении ограничений (21) – (24).