Л.8 Геометрическая и физические приложения кри 2-го рода

8.1 Вычесление s плоской фигуры

Пусть на плоскости xOy задана область D-правильная в наровления оси Oy ,т.е. D=, ограниченная замкнутой гладкой линией

(контуром Г).

Рассмотрим интеграл I=, обход контура Г осуществляется против часовой стрелки.

(1)

Аналогично для области D, которая является правильной в направлении Ox можно получить

(2).

Если же область D является правильной в направлении Ox и Oy то формулу для вычесления её S получим сложив формулу (1) и (2)

(1)+(2)=2S=

(3).

8.2 Вычисление работы переменой силы

Пусть материальная точка M(x,y) под действием переменной силы F перемещается

в плоскости xOy по дуге AB кривой L .Необходимо вычислить работу A производной

этой силой F по перемещению материальной точки M от точки A до точки Bя; будем

считать, что вычислена и направлении переменой силы F определяется координатами точки M , т.е. проекции силы F на координатами оси есть функция оси x и y .Таким образом

,где

P(x,y),Q(x,y)-проекции силыF на координатами оси

L,j-единичные векторы на осях координат; извесно что сила F-constпо величине и направлению, а перемещение -прямолинейное (,то

работа этой силы F по перемещению материальной точки M то врезультатеS =скаляр произведение в F и S.

(4)

Если F переменная, а перемещения- криволинейное ,

то получают следующем образом :1)разобьем дугу

AB произвольным образом на n частичных дуг с длинами обозначим (найбольше из длин всех частичных дуг )- диаметр разбиения дуги AB.

2) на каждой частичной дуге выберем произвольную т.Mи будем считать что во всех точках частичных

дуг величина силы =её значению в точке

Под действием этой постоянной силы материальной

т. перемещаемая не по частичной дуге ,а по вектору ,при этом работа производной этой силой будет равна

M(x,y) по ,частичной дуге силы F от M :по перемещению малой точки

3)Найдем работу A силы на всем пути AB

(5)

Это приближение будет тоже лучше ,чем меньше

будет длины , ().

Поэтому за точное значение работы силы F надо

взять:

из этого следует физический смысл КРИ 2-го рода:

А на криволинейном пути AB числено равна

КРИ-2 от функции P(x,y) и Q(x,y) –проекций силы F

на оси Ox и Oy соответственно.

В следствии пространственной кривой AB имеем :

Лекция№9 Поверхностные интегралы по площади поверхности (пви-1)

Понятие поверхностный интеграл явл. Обобщением двойной интеграл на случай, когда обл. интегрирования не часть плоскости, а часть некоторой криволинейной поверхности в пространстве.

9.1. Основные понятия, теорема существования.

Пусть т. Некоторой поверхности S заданной координатами z=f(x,y) определена некоторая ф-я U=F(x,y.z).

Выполним теже действия, что и при определении ДВИ.

1. разобьем на n частей σi(i=) с площадями Δσi и диаметрами λi, тогда λ=max{λi}- диаметр разбиения поверхности S на части.

2. σi выберем произвольную точку Mi(Xi,Yi,Zi) и составим сумму

Δσi=*Δσi (1)

Сумма (1) называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S.

Опред.1 Если сущ. Конечный предел интегральной суммы (1), при n (λ), то он называется поверхностным интегралом по площади поверхности или поверхностным интегралом II ряда от функции F(x,y,z) по поверхности S и обозначается

, т.о.

(2), где

^{- символ ПВИ-1,}

^{- площадь интегрирования,}

^{F(x,y,z)- интегральная} функция,

Dδ-элемент площади поверхности.

Теорема 9.1 (о существовании ПВИ-1).

Если F(x,y,z) непрерывна на поверхности S, задаваемой z=f(x,y), а f(x,y) вместе со своими частными производными f’(x) и f’(y) обл. S_xy-проэкции поверхности S на плоскость xOy, то сущ. Конечный предел интегральной суммы (1) (т.е. ПВИ-1) и он не зависит ни от способа разбиения поверхности S на части, ни от выбора точки на них для составления интегральной суммы.

Аналогично можно определить ПВИ-1, если поверхность S опред. Уравнением y=φ(x,z) или x=ψ(y,z), а S_xz и S_yz- проекции поверхности S на плоскости xOz и yOz.