5.Определение точки экстремума функций двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Пример.

Определение точки экстремума функций двух переменных:

Говорят, что функция имеет в максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой из неё выполняется неравенство

Необходимое условие существования:

Пусть функция имеет в экстремум. Тогда и либо равны 0, либо равны , либо не существуют.

Замечание:

Если - дифференцируемая в , то .

Достаточное условие существования:

Пусть – стационарная точка, дважды непрерывно дифференцируемой функции . Если число , то в функция имеет экстремум.

	- минимума	Экстремума нет	Требуются доп. исследования
	- максимума	Экстремума нет

Пример:

Исследовать на экстремум функцию .

; ;

; ;

- стационарная точка

, экстремум в точке существует

Ответ:

6.Понятие условного экстремума функции двух и трех переменных. Пример – текстовая задача.

1)Условный экстремум функции двух переменных:

– уравнение связи.

Из уравнения связи получаем зависимость .

Подставляем полученную зависимость в начальную функцию, получаем – функция одной переменной. Находим экстремум для неё – это будет условный экстремум первоначальной функции.

2)Условный экстремум функции трех переменных:

– уравнение связи.

Из уравнения связи получаем зависимость .

Подставляем полученную зависимость в начальную функцию, получаем – функция двух переменной. Находим экстремум для неё – это будет условный экстремум первоначальной функции.

Пример:

Разложим данное положительное число на три положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

, - уравнение связи

- наибольшее.

;

- функция двух переменных

- стационарная точка.

экстремум в точке существует.

точка – точка максимума.

Ответ:

7.Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области . Пример.

План:

1)Найти значений функции в критических точках, лежащих внутри области (без проверки достаточных условий)

2)Найти значения функции в критических точках каждого участка границы области .

3)Найти значения функции в точках стыка участков границы

4)Выбрать среди всех значений наибольшее и наименьшее

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области :

1)

2)

a)

б)

в)

3)

– точки стыка границ

Ответ:

Наибольшее значение:

Наименьшее значение:

8.Определение скалярного поля. Линии и поверхности уровня. Примеры.

Определение скалярного поля:

Скалярное поле – часть пространства (или все пространство), каждой точке которого соответствует некоторое численное скалярной величины.

Если в пространстве задана система координат, то скалярная величина становится функцией координаты.

Определение поверхности уровня:

Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек пространства, в которых функция принимает одно и тоже значение .

Пример: – сфера радиуса и с центром в точке

Определение линии уровня:

Линией уровня называют линию на плоскости , в точках которой функция принимает одно и тоже значение .

Пример: – круг радиуса , лежащий в плоскости с центром в точке .

Пример:

В метеорологии, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.