4.4. Математическая модель распределенного фильтра для двумерного входного воздействия

Запишем дискретную модель уравнений (4.21)-(4.22). В рассматриваемом случае выберем шаги дискретизации по оси y y, число шагов v, по оси xx, число шагов m, по оси zΔz, число шагов по оси z выбрано равным двум.

Записывая уравнение (4.21) в дискретном виде, получим

(4.31)

Из граничных условий (4.22)

.

Преобразуя (4.31), получим

или

(4.32)

Запишем (4.32) в матричном виде

DX=-1/∆Z·U, (4.33)

где

D= (4.34), X= (4.35),

D^*-блочная матрица, 0-нулевая матрица,

(4.36), U= (4.37),

(4.38) , ,

(4.39),

.

Преобразуя (4.33), придем к следующему результату

X=D^-1· (-1/∆Z)·U (4.40)

Матрица D^-1 описывает дискретную модель двухмерного пространственного фильтра. Этот пространственный фильтр, построенный для фиксированных значений А, выделяет из вектора входного воздействия U , пространственные моды , для которых выполняется условие А=1/(_i²+Ω_j²). Общая схема обработки распределенного сигнала приведена на рис. 4.5, где К_i,j-коэффициент передачи i,j-го пространственного фильтра.

Рис. 4.5. Схема обработки двумерного распределенного сигнала

В рассматриваемую схему введен блок настройки параметров пространственного фильтра (распределенный сканер), который, сканируя входное воздействие , определяет пространственные частоты (Ψ²_i+_j² см. (4.24),(4.23)) пространственных мод, формирующих входное воздействие. Для выбранных А=Ψ²_i+_j² , с использованием (4.34), могут быть определены значения матриц

D_i,j^-1, используемые при настройке пространственных фильтров.

4.5. Математическая модель распределенного сканера для трехмерного входного воздействия

Математическая модель трехмерного пространственного фильтра имеет вид

, (4.41)

где А – заданное число, – вектор пространственных координат , - время.

Граничные условия заданы соотношениями

(4.42)

Положим, что входное воздействие представлено в виде ряда Фурье по пространственным координатам

, (4.43)

В_i,j,μ(х₁,х₂,х₃)=

( функции В_i,j,μ(х₁,х₂,х₃) записываются с учетом граничных условий (4.42))

, , (4.4)

заданные функции (несущие информацию о полезном сигнале).

Требуется определить

Реакцию объекта на каждую моду входного воздействия будем искать в виде:

, (4.45)

где Н_i,j,μ(x₄,τ)- определяемые функции (j,j,μ = ).

Подставляя (4.45) в (4.41) и преобразуя, получим

,

или (4.46)

Функцию будем искать в виде:

(4.47)

где ,

B_1,i,j,μ , B_2,i,j,μ -функции, определяемые из граничных условий.

Подставляя (4.47) в (4.45) и далее в (4.42) , придем к следующему соотношению

,

или

. (4.48)

Подставляя (4.47) в (4.45) и далее в (4.42), с учетом (4.43), получим

Значение B_1,i,j определяется из следующего соотношения

(4.49)

Подставляя (4.49) в (4.47) и далее в (4.45), получим

где .

Аналогично, как и в предыдущих случаях, может быть определен коэффициент передачи объекта по каждой пространственной моде

входного воздействия

(4.50)

.

Уравнения (4.41)-(4.42) описывают модель пространственного сканера для трехмерного входного воздействия.