2.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем

Под сложной технической системой будем понимать систему, состоящую из элементов (два и более). Отказ одного из элементов системы приводит к отказу системы в целом.

Рассмотрим последовательность замен некоторого определенного элемента Z данного наименования. Эксплуатация каждого нового элемента начинается с момента окончания срока службы предыдущего. Первый элемент отрабатывает время t₁ , второй - t₂ , третий - t₃ и т. д.

Случайная ситуация, сложившаяся в k-м опыте (ситуации) для элемента Z, показана на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Временная эпюра случайной ситуации при k-м опыте в случае мгновенного восстановления отказавшей системы путем замены элемента

На рис. 2.1 видно, что система начинает свою работу в момент времени t = 0 и, отработав случайное время t_1k, выходит из строя в момент t_1k = t_1k. В этот момент система мгновенно восстанавливается (элемент заменяется) и снова работает случайное время t_2k. По истечении некоторого времени система (элемент) вновь выходит из строя в момент и вновь мгновенно восстанавливается.

Считают, что интервалы времени между отказами t_1k, t_2k, .... t_pk представляют собой систему взаимно независимых случайных величин с плотностями распределения наработок между отказами f(t₁), f(t₂) , … , f(t_p) . 

Моменты отказов или восстановлений образуют в каждом k-м опыте (испытании) ряд чисел по следующему правилу:

(2.3)

или

. (2.4)

где t_ik - время работы (наработка) элемента до i-го отказа в k–м опыте, час,

, .

t_ik - время работы (наработка) элемента между (i-1)-м и i-м отказами в k–й реализации, час, , .

 Числа t_1k, t_2k, ... ,t_pk образуют случайный поток, который назы­вается процессом восстановления. Этот процесс является различным для различных элементов и продолжается до окончания срока служ­бы системы. Изучением таких процессов занимается теория восста­новления.

Из большого количества различных процессов восстановления для исследования надежности элементов технической системы (как неремонтируемых, так и ремонтируемых) используют три типа про­цессов:

       простой, при котором все функции распределения наработок до первого и между последующими отказами F_i (t) равны;

       общий, при котором вид функции распределения наработки до первого отказа элемента, установленного в системе заводом-изготовителем, отличается от вида функций распределения нара­боток элементов при последующих заменах, т. е. , i = 2, 3, 4,…

       сложный, при котором все функции распределения F_i (t) раз­личны.

Основной характеристикой процесса восстановления является функция восстановления и ее дифференциальная характерис­тика - плотность восстановления , определяемые по следую­щим формулам:

; (2.5)

; (2.6) 

где F_n(t) и f_n(t) - соответственно плотность и функция распределения на­работки до n-го отказа.

В случае независимости наработок между отказами функции распределения F_n(t) наработок до n-го отказа находятся путем по­следовательного применения правила свертки для суммы двух слу­чайных величин:

; (2.7)

F₁(t) = F(t) .

 Следует от­метить, что сложность получения аналитических выражений для и по формулам (2.5), (2.6) состоит в том, что свертка (2.7) лишь для некоторых законов распределения вычисляется в конечном виде. Использование аналитических методов расчета плотности и функции восстановления ограничено из-за сложности математической формализации применяемых стратегий восстановления работоспособности технических систем и необходимости учета множества факторов, влияющих на замену элемента в системе. В этих условиях наиболее эффективным методом расчета и является метод Монте-Карло. 

Расчет ведущей функции и параметра потока отказов этим методом в случае простого, общего или сложного процессов производится в следующем порядке.

По известным законам распределения наработок элементов с использованием формул преобразования, моделируются массивы случайных величин t_ik между (i-1)-м и i-м отказами. Размерность каждого массива равна N.

Далее вычисляются значения наработок до i-го отказа t_ik по следующим формулам:

  ; (2.8)

, (2.9)

где i – номер отказа,

k – номер реализации при моделировании,

p – максимальное число отказов элемента, получаемое в k-й реализации случайного процесса

Затем полученные случайные величины наработок t_ik группиру­ются по интервалам времени.

Номера интервалов, в которые попадают моменты возникнове­ния отказов t_1k, t_2k, ... ,t_ik, ... , t_pk определяются по формуле:

, (2.10)

где - наименьшее целое число, не меньшее ;

t_i - величина интервала времени

Параметр и ведущая функция потока отказов в j-м интервале времени определяется по следующим формулам:

; (2.11)

; (2.12)

где n_ij - число попаданий случайной наработки до i-го отказа t_ik в j-й ин­тервал времени () за N реализаций.

; (2.13)

. (2.14)

где h - максимальное число интервалов времени.

Пример 2.1. Законы распределения наработок элемента системы до первого и второго отказов и соответствующие параметры этих законов приведены в следующей таблице:

№ отказа	Закон распределения	Параметры закона
		a()	b
1	Вейбула	1,4	45,8
2	Экспоненциальный	0,3	-

Определите номера временных интервалов, на которых про изойдут первый и второй отказы в ходе первого опыта (испытания) (t_i = 1 час).