3. Нахождение определенных интегралов способом «зонтика» Неймана

1. Постановка задачи. Пусть нам дан определенный интеграл

.

Значение этого интеграла по геометрической интерпретации равно площади подынтегральной функции y=f(x) . Вычислить интеграл методом «зонтика» Неймана.

2. Модель. Рассмотрим простую функцию, будем считать, что она отлична от нуля в интервале от а до b. Выберем любой прямоугольник, накрывающий всю площадь под функцией f(x), т.е. с высотой h M, где М абсолютный максимум функции в интервале от а до b , и основанием b₁ – a₁ , причем b₁  b и a₁  a (рис.2.1).

Рассмотрим теперь технологию вычисления площади методом статистических испытаний. Разыгрываем два равнораспределенных случайных числа ₁ и ₂. По формуле (1.35) вычисляем значения х и у. Повторяем опыт разыгрывания пары случайных чисел N раз. Они определяют координаты точек, которые попадают внутрь прямоугольника a₁ c₁ d₁ b₁ . Вероятность нахождения этих точек ниже подынтегральной функции f(x), вычисляется по формуле

. (2.33)

Оценку этой вероятности можно найти также по отношению числа точек (попавших под интегральную функцию), к числу точек внутри прямоугольника, т.е.

.

Приравнивая их, получаем, что площадь под интегральной функцией равна

. (2.34)

Этот способ по существу следует из закона больших чисел.

3. Алгоритм. Рассмотрим алгоритм получения точек на плоскости.

1. Разыгрываются N раз, два эталонных случайных числа _1i и _2i. Вычисляются координаты и , здесь М максимум функции f(x), которую можно всегда вычислить.

2. Проверяется выполнение неравенств

; .,

здесь h – высота выбранного прямоугольника, обычно его берут равной максимуму функции f(x), т.е. h = М .

3. В случае выполнения _.

4. Проверятся выполнение неравенств

; .

5. В случае выполнения неравенств .

В итоге мы найдем число точек, попавших внутрь прямоугольника, и число точек, попавших под интегральную функцию f(x) в интервале от а до b.

Рассмотрим трехмерный случай. Формулу для вычисления объема неизвестного тела по методу Монте-Карло можно найти по аналогии с формулой (2.34):

,

здесь N_x число точек, попавших в определяемый объем, V_{параллелепипеда} – объем выбранного известного параллелепипеда.

4. Задания на моделирование

1. Вычислить интегралы следующих функций в интервалах и сравнить с точным значением интеграла

Функция	Интервал	Точное значение интеграла
		0.5
		0.333333…..
		1
		0.5

2. Определить погрешность вычислений.

3. Найти причину допускаемой погрешности и определить способы уменьшения погрешности.

2.4. Вычисление значения числа 

Рассмотрим задачу вычисления значения числа . Эта задача интересна и с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простые опыты с решением довольно сложной математической модели по определению числа .

1. Способ дождя. Идея определения числа  заключается в следующем: при радиусе круга r = 1, его площадь S равна . Рассмотрим четверть круга (рис.2.2) , тогда

. (2.35)

Если мы определим площадь четверти круга, то определим значение числа . Для определения площади круга используем метод Монте-Карло, который требует применения случайных чисел. Экспериментально случайные числа можно получить как при помощи рулетки, так и при помощи дождя. Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга.

Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно, т.е. ,т.к. , то .

Таким образом, значение числа  можно найти, определив N_kr – число капель в кругу и N_kv – число капель в квадрате

. (2.36)

Фактически значение площади подынтегральной функции мы нашли, используя метод «зонтика» Неймана.

Генерация случайных чисел на отрезке. Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе (можно воспользоваться одной из многочисленных публикаций таких таблиц, например, в книгах[5,6,7,23,25]). Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу (см. рис.2.2).

Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265. Из него можно "приготовить" пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0.32, у=0.65. Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0.32; 0.65).

Решение. Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (x_i; y_i) выполняется неравенство x_i^2 + y_i^2> 1, то, значит, она лежит вне круга. Если x_i^2 +y_i^2<=1, то точка лежит внутри круга.

Для подсчета значения  снова воспользуемся формулой (2.36). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где С - некоторая постоянная, а N - число испытаний. В нашем случае N = N _kv. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз, нужно увеличить N в 100 раз. Ясно, что широкое применение метода статистических испытаний (Монте-Карло) стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 1 и 2 в приложении 3 реализуют описанный метод.

2. Способ "падающей иголки" или игла Бюффона. Идея метода также заключается в вычислении площади под некоторой кривой. В методе иглы Бюффона в качестве подынтегральной кривой используется тригонометрическая функция COS. Сущность метода заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число , и приближённо оценить эту вероятность.

Построение модели. Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных, прямых линий так, чтобы расстояния между ними были равны а и не превышали длину иголки L.

Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы (см. рис. 2.4) определяется расстоянием х от ее середины до ближайшей прямой, углом, который игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую (см. рис. 2.3). Ясно, что 0<=x<= 1/2, -/2<= у <=/2.

На рис.2.5 изобразим графически функцию у=0.5*l*cos().

Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с координатами (;y), расположенными на участке ABCD. Заштрихованный участок AED - это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямыми линиями. Вероятность события - "игла пересекла прямую" - вычисляется по формуле

,

здесь , ,

т. е. . (2.37)

Рис. 2.3 Рис.2.4

Вероятность P(a) также можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж N раз и она упала k раз, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом N имеем

. (2.38)

Приравнивая формулы (2.35) и (2.36) получаем формулу для расчета значения  (пи).

. (2.39)

При вычислении тригонометрических функций на языке Паскаль и Бейсике углы из градусной меры приходится переводить в радианную меру, где используется значение . Поэтому для построения нашей модели мы используем проекцию иглы (рис.2.4). Координаты проекции иглы на ось ОУ не влияют на наши расчеты. Координату Х1 зададим датчиком случайных чисел. Координата Х2 может изменяться в промежутке Х1<=X2<=X1+L, L - длина иглы. Условие пересечения иглы прямой Х1<=A<=X2, где а - координата х проекции прямой на ОХ. Для конкретности возьмем расстояние между прямыми – а = 2, длину иглы – L =1, количество линий на рис. 2.2. Описанная модель реализована в программах 3 и 4 (см. приложение 3.).

Задания на моделирование:

1. Составить программы определения числа  по рассмотренным методам.

2. Провести моделирование.

3. Оценить погрешность результатов и построить графики .