3.3 Центр масс

В любой системе частиц можно найти точку, называемую центром масс , которая обладает рядом важных свойств. Её положение относительно начала данной системы отчета, определяется радиусом-вектором .

Центр масс совпадает с центром тяжести для однородного поля сил тяготения.

Найдем скорость движения центра масс системы

;

Если , то система, как целое, покоится, т.е. имеет смысл скорости движения всей системы, как целого. Поскольку, , то

т.е., импульс системы равен произведению ее массы на скорость движения центра масс.

3.4. Уравнение движения центра масс.

Основной закон динамики можно записать в иной форме, зная понятие центра масс системы:

Это есть уравнение движения центра масс системы, одно из важнейших уравнений механики. Оно утверждает, что центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы.

Ускорение центра масс системы совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Если , то , значит и — это случай замкнутой системы в инерциальной системе отсчета. Таким образом, если центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, это означает, что её импульс сохраняется в процессе движения.

Пример: однородный цилиндр массы и радиуса скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти уравнение движения?

Совместное решение дает значение параметров

Уравнение движения центра масс совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально массе системы.

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс, которая движется поступательно относительно ИСО называют системой центра масс. Ее особенностью является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю, так, как .

4.Работа и энергия

4.1 Работа

Пусть частица М под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. Сила, в общем случае, может меняться во времени по модулю и направлению, но на элементарном перемещении её можно считать .

Действие силы на перемещении характеризуется физической величиной, равной скалярному произведению , которая называется элементарной работой силы на перемещении . Её можно записать как , где — угол между и - элементарный путь проекция вектора на вектор , или на направление s.

З

начит, элементарная работа (*)

- величина алгебраическая, она может быть , или , а также равна нулю при .

Суммируя элементарные работы (т.е., интегрируя ) по всем элементарным участкам пути от 1 к 2 найдем работу силы на данном пути.

.

Геометрический смысл этого выражения виден из рисунка, на котором - площадь полоски шириной и высотой ; - площадь под всей кривой. Над осью работа силы положительна, под осью — отрицательна.

Размерность работы .

Найдем для примера работу некоторых центральных сил.

1. Работа гравитационной или кулоновской силы.

Пусть в точке О находится неподвижная материальная точка, действующая на частицу М с силой ; —орт радиуса- вектора ,  -постоянная, равная -jm₁m₂ для гравитационной и kq₁q₂ для кулоновской силы. Элементарная работа этой силы на перемещении : ; Скалярное произведение— приращение модуля вектора ;

Тогда , а работа на всем пути: .