2.1.4. Універсум

Звичайно, вже в контексті деякої задачі, в якій виникає конкретна множина, явно або неявно обмежується сукупність об’єктів, що є допустимими (натуральні числа – серед цілих або дійсних залежно від контексту, студенти – серед студентів факультету, університету, або серед всіх студентів України, або світу залежно від контексту).

Зручно сукупність допустимих об’єктів зафіксувати явно, як деяку множину та вважати, що множини, які розглядаються, складаються з елементів цієї множини. Її називають основною множиною (універсумом) і позначають .

Наприклад, універсумом для множин, які виникають в деякій арифметичній задачі, є числа (залежно від контексту натуральні, цілі, дійсні або комплексні). Універсумом для множин деякої задачі, що стосується зоології, є множина тварин (залежно від контексту це множина всіх тварин або ссавців, або птахів і т.д.).

Приклад 2.6. Якщо в задачі мова іде про студентів, то універсумом може бути множина всіх студентів деякої групи, або факультету, або деякого університету, або всіх ВНЗ України, або всього світу. Наприклад, якщо в задачі підраховується успішність деякого окремого студента групи 1ЕК, то в якості достатньо обрати множину студентів цієї групи, якщо складається порівняльна таблиця успішності студентів першого курсу КНЕУ або ХДТУ, то в якості універсуму достатньо розглядати множину всіх студентів першого курсу даних навчальних закладів.

Будь-яку множину розглядатимемо у зв’язку з універсумом, який на колах Ейлера асоціюватимемо з прямокутником на площині, всередині якого зображатимемо множини, як ми робили, починаючи з рис.2.1.

Нова операція – (абсолютне доповнення ) – це множина, що містить усі елементи універсуму, за винятком елементів (рис.2.5).

Приклад 2.7. Якщо розглядати в якості універсуму множину співробітників деякої фірми та означити літерами:

• – множину менеджерів цієї фірми;

• – множину співробітників за віком більш 30 років;

• – множину співробітників за віком більш 40 років;

• – множину співробітників, які мають стаж роботи більш за 5 років.

Визначимо зміст множин:

1) – множина співробітників фірми, які не є менеджерами;

2) – множина співробітників фірми, яким за віком не більше 30 років;

3) – множина менеджерів фірми, яким за віком більш 30 років;

4) – множина співробітників фірми за віком не більш 30 років, які мають стаж роботи не більш 5 років;

5) – множина співробітників фірми за віком більш 30 років, які мають стаж роботи не більш 5 років.

2.1.5. Підмножина. Рівність множин.

Означення 2.5. Множина називається підмножиною множини , якщо кожен елемент є елементом .

Для позначення цього факту вводиться знак «» – символ включення (або «»); іншими словами, .

Якщо необхідно підкреслити, що множина містить також інші елементи, крім елементів множини В, то використовують символ строгого включення: . Зв’язок між символами і задається виразом . Загалом будемо використовувати символ «».

Говорять, що множина є істинною (або власною, від слова «власне») підмножиною , якщо і на відміну від неістинних (або невласних) підмножин  та будь-якої множини .

Приклад 2.8. Стосовно вищенаведеного приклада підмножинами множини U співробітників деякої фірми є множини , , , , , , , , . Крім того можна розглядати, що

– множина співробітників фірми, яким за віком більш 40 років, є підмножиною множини співробітників за віком більш 30 років.

, – множина співробітників фірми за віком не більш 30 років, які мають стаж роботи не більш 5 років, є підмножиною множини співробітників фірми, яким за віком не більш 30, й одночасно є підмножиною множини співробітників фірми, які мають стаж роботи не більш 5 років.

Підкреслимо, що всі наведені приклади підмножин є прикладами істинних підмножин.

Порожня множина не містить елементів. Отже, додаючи до множини порожню множину, ми фактично нічого не додаємо. Тому завжди можна вважати, що будь-яка множина містить порожню множину як підмножину.

Приклад 2.9. Нехай – людська істота} і – людська істота жіночої статі}; тоді зрозуміло, що , а – істинна підмножина .

Треба бути уважним, щоб розрізняти елементи множини та підмножини цієї множини. Наприклад, коли пишуть це означає, що елемент є членом множини, що складається з трьох елементів: , і . Коли ж пишуть , це означає, що множина, що складається з одного елемента , є підмножиною множини, яка складається з трьох елементів: , , .

Таким чином, якщо Розов А.Ю. є студентом групи 1ЕК, то це означає, що цей студент є елементом множини студентів групи 1ЕК. Якщо це єдиний студент цієї групи, який склав зимову сесію на “відмінно”, то студент Розов А.Ю., є єдиним елементом множини студентів-відмінників групи 1ЕК за результатами зимової сесії, при чому .

Означення 2.6. Дві множини рівні, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів:

.

Наприклад, .

Справджується таке твердження: тоді і тільки тоді, коли .

Можна довести таке твердження: включення множин транзитивне, тобто справджується така рівність:

якщо , то .