47.Дать понятие предела функции на бесконечности и односторонних пределов. Раскрыть суть вычисления пределов как раскрытия неопределенностей. Записать формулы замечательных пределов..

Предел в бесконечности - число b назв. пределом функции f в точке x→∞, если для бесконечно. большой. Предел (б.б.п) {Xn}, соответствующая последовательность значений функции {F(x_n)} сходится к b

Односторонние пределы:

Если число А₁ (число А₂) есть предел функции при х, стремящемся к а так, что х принимает только значения меньшие (большие) а, то А₁ (А₂) называется левым (правым) пределом функции в точке а.

методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа: ; ;;;;;.

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Замечательные пределы:

48) Определить понятия бесконечно больших и бесконечно малых функций, эквивалентности бесконечно малых функций. Записать формулы эквивалентных бесконечно малых функций.

Функция f(x) называется бесконечно малой при если .

Функция f(x) называется бесконечно большой при если для всякого числа М > 0 существует число выполняется неравенство

Две функции и называются эквивалентными бесконечно малыми, при , если .

49. Дать определения непрерывность функции в точке. Изложить свойства функций, непрерывных в точке.

Непрерывность функции в точке

Функция f непрерывна в точке a, если для любой окрестности V(A) точки A = f(a) существует окрестность U_E(a) такая, что .Если функция непрерывна в точке a, то говорят, что функция f класса C и пишут: . На числовой прямой каждой окрестности можно сопоставить симметричную окрестность. Таким образом, определение непрерывности функции можно сформулировать на языке -δ в том виде, как это принято в математическом анализе:

.

Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своего определения. В соответствии с этим наибольший интерес представляет собой тот случай, когда a — предельная точка области определения.

Функция f непрерывна в точке a, предельной для множества E, если для любого числа найдётся такое число δ > 0, что для всех точек условие | x − a | < δ влечет . Или:

.

В этом случае определение непрерывности, фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция f непрерывна в точке a, предельной для множества E, если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

Также можно сказать, что функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю: .

50) Дать определение точки разрыва функции. Сформулировать условие непрерывности функции в точке. Изложить классификацию разрывов функции.

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ; Эти односторонние пределы конечны. При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :

Функция f (x) определена в точке x = a;

Предел существует;

Выполняется равенство.