Пусть , а - любое, удовлетворяющее условиям . Взяв , удовлетворяющее указанным условиям, выберем для этого число такое, что и обозначим: . Имеем: , причём ;

, причём . Итак, при всяком δ , можно указать h₁ и h₂ такие, что ||h₁|| < δ, ||h₂|| < δ, а соответствующие приращения и отличны от нуля и имеют противоположные знаки; значит (см. Ш) х₀ не является точкой экстремума функции f. ◄

Запишем матрицу квадратичной формы :

C =

Пусть Δ₁, Δ₂, … ,Δ_n - последовательные угловые миноры этой матрицы:

Δ₁= , Δ₂ = , … , Δ_n =det C.

Следствие. Пусть точка х₀ и функция f удовлетворяют условиям тео- ремы 2. Тогда : 1) если Δ_k > 0, k =1,2,…,n, то х₀ есть точка строгого миниму- ма функции f ; 2) если все угловые миноры отличны от нуля, а их знаки че- редуются, причём Δ₁ < 0, то х₀ есть точка строгого максимума функции f.

Справедливость этих утверждений непосредственно вытекает из теоре- мы 2 и критерия Сильвестра ([4], стр. 21).

Замечание. Если угловые миноры матрицы С не удовлетворяют требо- ваниям критерия Сильвестра, форма либо квазизнакоопределенная, ли- бо знакопеременная. В первом случае стационарная точка х₀ может оказать- ся точкой экстремума, но может ею и не быть. Исследование стационарной точки в этом случае проводится с привлечением дифференциалов более вы- соких порядков.

Рассмотрим отдельно случай функции f(x,y) двух переменных. Запишем такой функции:

Запишем матрицу этой квадратичной формы от двух переменных h₁ и h₂ и её угловые миноры:

С = ,

Δ₁ = , Δ₂ =.

Теорема 3. Пусть функция f (х,у) дважды дифференцируема в окрест- ности точки М₀(х₀,у₀), которая является стационарной точкой этой функции. Тогда:

1. если Δ₂ => 0, то М₀ есть точка строгого экс- тремума функции f, а именно, строгого минимума в случае > 0 и строгого максимума в случае < 0;

2. если Δ₂ =< 0, то М₀ не является точкой экстремума функции f.

► Утверждения 1) вытекают непосредственно из следствия теоремы 2. Докажем утверждение 2).

Пусть < 0. Может представиться один из сле- дующих трёх случаев:

*) ≠0, **) =0, но ≠0, ***)==0.

Покажем что в каждом из этих случаев является знакопеременной формой

*) Нетрудно проверить справедливость при любых h₁ и h₂ равенства

=

Положив здесь сначала а затем получим:

,

{}. По условию выражение в фигурных скобках отрицательно; значит, в точках и форма принимает значения противополож- ных знаков, т.е. это знакопеременная форма .

**) Из=0 и < 0 следует . Положив в

= сначала а затем получим:

, . Отсюда ясно, что - знакопеременная форма.

***) Имеем , причем . Легко видеть, что это знакопеременная форма.

Итак, если< 0, то представляет собой знакопеременную форму. В силу утверждения 3) теоремы 2 М₀ не является точкой экстремума функции f. ◄

Пример 3. Для каждой из функций f₁(x,y) = , и точка О(0,0) является стационарной, причем для f₁ и f₂ в этой точке Δ₂ > 0 , а для f₄ в этой точке Δ₂ < 0. Значит, точка О(0,0) является точкой экстремума для f₁ и f₂ , и не является точкой экстре- мума для f₄ . Для функции f₁ имеем:; следовательно, О(0,0) есть точка строгого минимума этой функции f₁. Для функции f₂ :; значит, f₂ имеет в О(0,0) строгий максимум (рис.1).

Замечание 7. В случае Δ₂ ==0 точка М₀ может оказаться точкой экстремума, но может и не быть ею.

Пример 4. Пусть . Для каждой из этих функ- ций точка О(0,0) является стационарной, причем Δ₂ = 0. Ясно, что наимень- шее значение f₅ равно нулю, и оно достигается во всех точках, лежащих на прямой х+у=0 ; таким образом, для этой функции О(0,0) есть точка миниму- ма (нестрогого). Что касается f₆ , то f₆(0,0) = 0, причем в любой окрестности начала координат имеются как точки, в которых значения этой функции по- ложительны, так и точки, в которых её значения отрицательны; следователь- но, О(0,0) не является точкой экстремума функции f₆ .