Точки разрыва.

Непрерывность функции может быть нарушена в отдельных точках. Три типа точек разрыва :

1. x₀ - устранимая точка разрыва, когда f(x₀ - 0) = f(x₀ + 0), но в самой точке х₀ функция не определена;

2. x₀ - точка разрыва 1 рода, когда f(x - 0) f(x + 0), но пределы конечны;

3. x₀ - точка разрыва 2 рода, когда f(x - 0) f(x + 0) и пределы бесконечны;

Пр.

y = sinx/ x, x = 0 f(x) = |x| /x, x = 0 y = 1/x, x = 0

Свойства функций, непрерывных в точке .

1. Если функции g(x) и h(x) непрерывны в точке х_o , то функции g(x) + h(x),

g(x) h(x), g(x)/h(x) при h(x_o) 0 также являются непрерывными функциями.

lim ( g(x) + h(x) ) = lim g(x) + lim h(x) = g(x_o) + h(x_o)

x x_o x x_o x x_o

Для остальных функций доказательство аналогично.

2) Сложная функция, составленная из непрерывных функций, также является непрерывной.

Док-во. Пусть функция y = g(z) непрерывна в точке z_o , а z = h(x) в точке х_o , причем, z_o = h(x_o). По определению непрерывности lim h(x) = z_o , lim g(z) = g(z_o)

x – x_o z – z_o

Т.к. предел сложной функции при х х_o равен значению функции в точке х_o

lim g( h(x) ) = lim g(z) = g(z_o) = g (h(x_o) )

то функция является непрерывной .

Следствие. Элементарные функции образуются из основных элементарных функций с помощью арифметических операций или являются их суперпозициями. Поскольку основные элементарные функции непрерывны, то в силу свойств 1) и 2) все составленные из них элементарные функции также непрерывны и изображаются на графиках сплошными линиями в области своего определения.

Свойства функций, непрерывных на промежутке.

Функция y = f(x) , непрерывная на промежутке [a,b] :

1^o достигает на [a,b] своего наибольшего М и наименьшего m значения ;

2^o принимает все свои промежуточные значения (m<f(x)<M) при изменении х от a до b

3^o пересекает ось Ох хотя бы один раз, если f(a) f(b) < 0

Следствие. Непрерывная на [a,b] функция ограничена на [a,b] .

10