§ 5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1. Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, то есть для любых x[a;b] выполняется неравенство:

m ≤ f(x) ≤ M.

Теорема 2. Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [a;b], найдется хотя бы одна точа х_о, в которой выполняется равенство:

f(х_о) = С.

Теорема 3. Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х_о(a;b), в которой выполняется равенство:

f(х_о) = 0.

Теорема 4 (теорема Ролля)

Если функция f(x) определена на [a;b] и выполнены следующие условия:

1. f(x) непрерывна на [a;b];

2. f(x) дифференцируема на (a;b);

3. f(a) = f(b),

то внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка х_о, в которой выполняется равенство:

f ' (х_о) = 0.

Доказательство. Так как f(x) непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.

Возможны два случая:

1. m = M,

2. m < M.

1) Если m = M, то f(x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x Î (a;b).

Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х_о можно рассматривать любое значение x Î (a;b).

2) Если m < M, то, исходя из условия f(a) = f(b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f(a) = f(b). Для определенности предположим, что M – наибольшее значение f(x) достигается не на концах отрезка [a;b], а в некоторой внутренней точке х_о Î (a;b). Тогда в точке х_о для приращения функции справедливо неравенство: y = f(х_о + x) - f(х_о) ≤ 0, так как f(х_о) = M – наибольшее значение f(x) на [a;b] и  x такое, что х_о +  x Î [a;b].

• Если D x > 0, то и существует

• Если D x < 0, то и существует

Так как по условию теоремы функция f(x) дифференцируема при xÎ (a;b), то b в точке х_о существует производная. Значит справедливы равенства:

f ' (х_о +0) = f ' (х_о -0) = f ' (х_о) = 0.

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля

С геометрической точки зрения терема Ролля означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b], дифференцируемой на интервале (a;b) и принимающей на концах отрезка равные значения, имеет хотя бы одну точку (х_о ; f (х_о)), где х_оÎ (a;b), в которой касательная параллельна оси Ox (рис.7)

Рис. 7

Теорема 5 (теорема Лагранжа).

Если функция f(x) определена на [a;b] и выполнены следующие условия:

1. f(x) непрерывна на отрезке [a;b],

2. f(x) дифференцируема на интервале (a;b), то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х_о, в которой выполняется равенство:

f ' (х_о) = .

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) + ×x, где  = const. Потребуем, что бы для F(x) выполнялось условие F(a) = F(b).

Так как F(a) = f(a) +  × a; F(b) = f(b) +  ×b, то получим равенство:

f(a) +  × a = f(b) +  × b.

Отсюда выразим значение :

 = - .

При этом значении  функция F(x) = f(x) - .

Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

F(x) непрерывна на [a;b]:

F(x) дифференцируема на (a;b)

F(a) = F(b).

Следовательно, по теореме Ролля на (a;b) существует хотя бы одна точка х_о, в которой выполняется равенство:

F ' (х_о) = 0.

Найдем F '(x):

F ' (x) = f '(x) -

Поэтому F ' (x) = f ' (х_о) -

 f ' (х_о) =

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

С геометрической точки зрения теорема Лагранжа означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b] и дифференцируемой на интервале (a;b), имеет хотя бы одну точку (х_о;f(х_о), в которой касательная параллельна секущей, проходящей через точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)) (рис.8)

Рис. 8

Теорема 6 (теорема Коши).

Если функции f(x) и g(x) определены на отрезке [a;b] и удовлетворяют условиям:

1. f(x) и g(x) непрерывны на [a;b];

2. f(x) и g(x) дифференцируемы на (a;b);

3. g ' (x)  0 при любом x Î (a;b),

то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка х_о, в которой выполняется равенство:

Доказательство аналогично доказательству теоремы 5 при вспомогательной функции

F(x) = f(x) +  × g(x),

где  = const, которую выбирают так, чтобы F(a) = F(b).

Теорема 7 (правило Лопиталя).

Если функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х_о и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

1. f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке, за исключением, может быть, самой точки х_о;

2. g ' (x)  0 для любого x из этой окрестности;

3. или

тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

= .

Замечание 1. Это правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей типа или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределенность другого типа: 0×∞, ∞ - ∞, 1⁰, 0⁰ или ∞⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределенность приводится к или , а затем можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2. Если к условиям теоремы 6 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки х_о, то при выполнении остальных требований для f'(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство:

= =

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

Пример 3. Вычислить предел:

Пример 4. Вычислить предел:

.

Пример 5. Вычислить предел:

Пример 6. Вычислить предел: