5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Вычисление объемов с помощью двойного интегралаС помощью двойного интеграла, если воспользоваться его геометрической трактовкой, можно вычислить объем цилиндроида; формула для вычисления объема цилиндроида имеет вид:

где функция   задает поверхность, ограничивающую цилиндроид сверху (Рис. 9)Более общая формула для вычисления объема тела с помощью двойного интеграла имеет вид: Она получается как разность объемов двух цилиндроидов (Рис. 10).Объемы других тел вычисляются двойным интегралом только в случаях, когда эти объемы представляются как сумма или разность объемов цилиндроидов.Напомним, что цилиндроидом называется геометрическое тело, которое в координатной системе XOYZ ограничено снизу областью  , сверху – частью некоторой поверхности , сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

Вычисление площади фигуры с помощью двойного интеграла. Двойной интеграл применяется для вычисления площади плоской фигуры. f(x;y)=1 с высотой H=1. Объем такого цилиндра равен S обл. D. В полярных координатах эта формула будет иметь вид: Двойной интеграл легко вычисляется, если область D является прямоугольником. В этом случае двойной интеграл будет вычисляться через двукратный интеграл (повторный). - двукратный интеграл, где интеграл f(x;y)dy - внутренний интеграл, а интеграл dx - внешний интеграл. Пределы интегрирования внешнего интеграла всегда должны быть числами. Пределы интегрирования внутреннего интеграла могут представлять либо числа, либо функцию. Подынтегральная функция f(x;y) может разделяться на 2 переменных x и y в том случае, если представляет собой произведение или частное x и y. Если же функция представляет собой сумму или разность двух переменных x и y, то ее полностью записывают во внутренний интеграл и разделить ее нельзя. 

6. Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интеграла.

Вычисление площади плоской фигурыПлощадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле . (105)Если область определена в прямоугольной системе координат неравенством  , то из (105) имеем . (106)Если область D определена в полярных координатах неравенством  ,  , то . (107)

Вычисление площади пространственных поверхностейЕсли гладкая однозначная поверхность задана уравнением z = f (x,y),то площадь этой поверхности выражается формулой , (108)где D есть проекция данной поверхности на плоскость хОу.Если поверхность задана уравнением x = f (y, z),то для вычисления площади имеем аналогичную формулу . (109)Однако здесь D есть проекция поверхности на плоскость yOz.Аналогично, если поверхность задана уравнением y = f (x, z), , (110)где D – проекция поверхности на плоскость xOz.

7. Механические приложения двойного интеграла.

Пусть в плоскости Oxy есть материальная пластинка, то есть некоторая область D, п о которой распределена масса с плотностью μ(x, y). Тогда:масса пластинки

.статические моменты относительно координатных осей:

,  координаты (x_c, y_c) центра масс пластинки:

, 

момент инерции пластинки относительно оси O_y  относительно оси O_x  относительно начала координат