VI. Морфизмы.

Мы уже встречались с некоторыми функциями и можем провести небольшую их инвентаризацию. Ну, например, сравним функции f₁(x)=2х и f₂(x)=х². В первом случае функция отображает все рациональные числа на все рациональные числа, причём так, что в каждое рациональное число q направляется одно и только одно число. Например, в 2 переходит 1, в -0,5 переходит -0,25 и более никакое другое число. Не так обстоит дело с f₂. Например, в 4 переходят сразу два числа: 2 и -2. А в -2 вообще никто не переходит. На самом деле, никто не переходит и в 2, что мы вскоре и докажем. Короче говоря, не у всякого числа есть прообраз, и у тех, что имеют прообразы, их может быть больше одного. Итак, пусть имеются два множества, A и В.

Г оворят, что задано отображение f или морфизм f множества А во множество В, если каждому элементу а множества А поставлен в соответствие некоторый элемент b множества В. Этот факт записывают по-разному: f: A®B; (f,A,B); (A,B,f); . Множество А называется областью определения морфизма f, множество В – его областью значений. Если А=В, то морфизм f называют эндоморфизмом. Элемент b множества В, который при этом морфизме соответствует элементу а, называется образом элемента а. Элемент а множества А, который при этом морфизме переходит в элемент b множества В, называется прообразом элемента b.

Э тот факт записывают тоже по-разному: , b=f(a), aÎf^-1(b). Подчеркнём, что при нашем определении отображения у каждого элемента множества А имеется образ и при том единственный. У элементов же множества В может вообще не быть прообразов, а может быть и несколько (в том числе, и бесконечно много). В зависимости от этого морфизм f называется по-разному. Морфизм f называется сюръективным (surjection) или эпиморфизмом, если у каждого элемента В имеется хотя бы один прообраз. Иными словами, f^-1(b)¹Æ "bÎВ. Морфизм f называется инъективным (injection) или мономорфизмом, если у каждого элемента множества В есть не более одного прообраза. Если морфизм f является одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом, то он называется биективным морфизмом (биекцией) или изоморфизмом. Ещё одно название для него: взаимно-однозначное соответствие. Если при этом он ещё является и эндоморфизмом, то тогда он называется автоморфизмом. Схематически можно это записать как эпи+моно=изо; изо+эндо=авто. Множество всех элементов В у которых есть прообразы в А называется образом А при отображении f и обозначается Imf (Image f). Е сли имеются три множества А, В и С и два морфизма f: A®B и g: B®C, то определим морфизм h: A®C, называемый композицией морфизмов f и g и обозначаемый как : "аÎА h(а)=g(f(a)). Морфизм h называют ещё сквозным, потому что он является последовательным выполнением морфизмов f и g: . Определим морфизм id: A®A называемый тождественным: "аÎА id(а)=а. Морфизмы f: A®B и g: B®А называются взаимно обратными, если = id_A и = id_В. В этом случае пишут: f=g^-1; g=f^-1. Упражнение 28.

К каким из вышеназванных типов относятся морфизмы?

1. f: N®N, f(x)=6x.

2. g: Q®Q, f(x)=6x. Заметьте, что оба морфизма отличаются только областью определения и областью значений. Морфизм f называется сужением морфизма g (на N). Морфизм g называется продолжением морфизма f (на Q).

3. f: N®N, f(x)=x+3

4. f: Z®Z , f(x)=x+3

5. f: Z´Z ®N, f(x,y)=½x-y½. Опишите множество f^-1(0).

6. f: Z´Z ®N, f(x,y)=½x½+½y½. Опишите множества f^-1(0), f^-1(1), f^-1(2).

7. Пусть Q⁺ обозначает множество неотрицательных рациональных чисел {qÎQ½q³0}; f: Q´Q ® Q⁺, f(x,y)=½xy½. Нарисуйте на плоскости множества f^-1(0),f^-1(1), f^-1(2).

8. Докажите, что из равенства = id_A следует, что морфизм f – мономорфизм (инъективен), а морфизм g – эпиморфизм (сюръективен). *Приведите пример, когда оба морфизма не являются изоморфизмами. Докажите также, что любой изоморфизм обратим и обратный к нему морфизм – также изоморфизм.

VII. Счётные множества. Кардиналы. Говорят, что два множества А и В изоморфны, равномощны или имеют одно и то же кардинальное число, (CardA=CardВ) если существует биекция f: A®B.

Упражнение 29. Докажите, что отношение «быть изоморфными» рефлексивно и симметрично и транзитивно, т.е. устанавливает отношение эквивалентности между множествами.

Обозначим А(n) отрезок ряда натуральных чисел от 1 до n: А(1)={1}; А(2)={1,2};...; А(n)={1,2,...,n}. Все множества А(n) попарно не равномощны: при n¹m cardA(n)¹cardA(m).

Упражнение 30. Докажите это утверждение (например, по индукции!).

Множества, изоморфные какому-либо из множеств А(n) называются конечными. CardA(n)=n. В случае конечных множеств не может множество быть изоморфно своему собственному (т.е., отличному от него самого) подмножеству. В случае же с бесконечными (т.е., не конечными) множествами дело обстоит не так. Например, f(x)=x+1 устанавливает биекцию между множеством натуральных чисел N и его подмножеством N\{1}. f(x)=2x устанавливает биекцию между множеством всех целых чисел Z и его подмножеством чётных чисел 2Z. В случае с конечными множествами у нас есть два способа установить, какое из двух множеств больше: посчитать количество элементов в каждом и сравнить два числа, либо связать элементы попарно и посмотреть – в каком из двух множествах останутся лишние, непарные элементы. Например, чтобы узнать, чего не хватает – чашек или блюдец можно отдельно пересчитать чашки и блюдца, а можно поставить на каждое блюдце по чашке и посмотреть, останутся лишние чашки или лишние блюдца. В случае же с бесконечными множествами остаётся лишь вторая возможность. Множества, равномощные множеству натуральных чисел N называются счётными (их элементы можно занумеровать натуральными числами, т.е. пересчитать). Кардинальное число, приписываемое всем множествам, изоморфным множеству натуральных чисел обозначается как À₀ (читается: алеф-ноль). В арифметике кардинальных чисел наблюдается удивительная «стабильность». Как мы только что у бедились, À₀-1=À₀. Продолжая дальше, мы увидим, что, увеличивая счётное множество, мы всё равно остаёмся по-прежнему со счётным множеством:

Упражнение 31. Докажите, что следующие множества изоморфны:

1. Множество N натуральных чисел и множество всех отрицательных чисел;

2. Множество N и множество N\{1,2,…n}.

3. Множество N и множество NÈ{-1,-2,…-n}

4. Множество N и множество Z всех целых чисел

5. Множество N и множество Z´Z=Z² всех пар целых чисел (множество целочисленных точек плоскости)

6. Множество N и множество Z´Z´…´Z (n раз) = Zⁿ (по индукции).

7. Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

8. Всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

(Это означает, что счётные множества – самые «маленькие» из бесконечных множеств).

9. Множество всех рациональных чисел Q счётно. (Из e и g)

10. Множество всех конечных последовательностей целых чисел счётно.

Конечной последовательностью мы называем морфизм множества А(n), рассматриваемого как упорядоченное множество. f:А(n) ®B; Imf={а(1),а(2),…,а(n)}. Обычно записывают номера элементов последовательности как индексы: Imf={а₁,а₂,…,а_n}. Здесь при изменении порядка следования элементов, последовательность (но не множество её элементов!) меняется. Соответственно, бесконечной последовательностью называется морфизм множества N f:N®C={c₁,c₂,…,c_n,...}. Примеры: f(n)=n, C={1,2,...}; f(n)=n², C={1,4,9,...}; f(n)=(-1)ⁿ, C={-1,1,-1,1,...}. В последнем примере мы видим бесконечную последовательность С (её элементы отличаются своими номерами!), хотя множество её образов состоит всего из двух элементов.

Обозначая мощность конечного множества из n элементов за n, можем переписать установленные выше соответствия (считая, что мощности объединения непересекающихся множеств соответствует сумма мощностей этих множеств, а мощности произведения множеств - произведение мощностей этих множеств) в виде: À₀+n=À₀; À₀+À₀=À₀×2=À₀; À₀×n=À₀; À₀×À₀= =À₀; ⁼À_0. (Ъ) А существуют ли вообще несчётные множества? Пока может возникнуть

предположение, что их вообще нет. Что все бесконечные множества равномощны, и их можно пересчитать. Останемся пока с этой гипотезой; мы вернёмся к этому вопросу позже, а пока посмотрите, как устанавливается изоморфизм не числовых, а точечных множеств. Рисунки объясняют, почему, например, равномощны отрезки разной длины, полуокружность без концевых точек и прямая.

VIII. ГМТ.

Чем же всё-таки отличаются понятия отображения и функции и отличаются ли они вообще? Если и отличаются, то только тем, что под функциями принято обычно понимать числовые отображения, т.е., такие отображение, где множество образов – числовое (например, множество рациональных чисел Q).

Пусть мы имеем эндоморфизм f:AA. Графиком F эндоморфизма f называется подмножество FAA, F={(a, f(a))}, aA. Это определение позволяет увидеть, что графики функций являются отношениями, а именно, такими отношениями, что каждому элементу а множества А соответствует единственный элемент f(a) того же множества. Вообще говоря, для произвольного отношения из (a,b)R  (a,c)R не следует b=c. А в случае функций и отображений следует. Отсюда вытекает следующий «вертикальный тест»: для того, чтобы множество точек на плоскости было бы графиком некоторой функции, любая прямая х=q должна иметь с этим множеством не более одной общей точки (пересекать его не более, чем в одной точке). Так, например, окружность не может служить графиком никакой функции, ибо не выдерживает этого теста. А вот её верхняя половинка, или нижняя – могут. Множество точек плоскости, удовлетворяющее каким-то условиям, в геометрии принято называть геометрическим местом точек, сокращённо ГМТ.

Упражнение 32.

Постройте ГМТ (X,Y), удовлетворяющих уравнениям:

1. Х²-9=0;

2. У²-1=0;

3. (х-2)(у²-9)=0;

Упражнение 33. Постройте графики функций

1. У=|x|+x;

2. Y=|x|-x.

3. y=|x+5|+|x-5|;

4. y=|x-1|-|x+2|;

Упражнение 34.

Постройте ГМТ (x,y), удовлетворяющих уравнениям:

1. |y|-y=|x|-x.

2. xy²+y³-4x-4y=0.

Упражнение 35.

Постройте ГМТ (x,y), удовлетворяющих уравнениям:

1. ху-2х+3у-6=0,

2. ху+3х=0;

Упражнение 36.

Постройте график функции, которая носит название гиперболы: хy=1

Упражнение 37.

Постройте ГМТ (x,y), удовлетворяющих уравнению (ху-6)(у-3)=0.