11.2. Методы корреляционно-регрессионного анализа связи.

Первая задача статистики – выявить связь между показателями и придать ей аналитическую форму зависимости.

Основой для этого являются математические функции в виде уравнений:

а) – прямолинейная зависимость (либо )

б) криволинейные зависимости:

• – логарифмическая;

• – параболическая;

• – гиперболическая;

• – показательная;

• – степенная.

Решить математическое уравнение – определить параметры и т.д.:

1. с помощью метода наименьших квадратов: сумма квадратов отклонений фактических y от выровненных должна быть минимальной. (для линейной зависимости – по формулам в теме «Ряды динамики»);

2. при численности обследуемой совокупности до 30 единиц необходимо проверить параметры на типичность, т.е. не являются ли параметры уровня регрессии результатом действия случайных величин. Используется t – критерий Стьюдента (специальные таблицы с уровнем значимости α и числом степеней свободы k).

Для этого рассчитываются фактические значения t и сравниваются с табличными:

и , где n – численность совокупности,

– среднее квадратическое отклонение случайно величины, а – среднее квадратическое отклонение фактического признака.

Параметры уравнения регрессии и признаются типичными, если t_факт больше t_{табличного} :

Полученное уравнение регрессии называют математической моделью связи, сущность которой состоит в то, что она определяет среднюю величину результативного признака в зависимости от вариации фактического признака .

Вторая задача – определить полученные оценки тесноты связи между и , она характеризует практическую значимость построенной модели. Для статистической оценки связи применяются показатели вариации:

а) общая дисперсия результативного признака, отображающая влияние всех факторов на

б) факторная дисперсия, отображающая вариацию только от воздействия

в) остаточная дисперсия – характеризует вариацию y от всех прочих факторов (неучтённых, случайных).

Соотношение между факторной и общей дисперсии характеризует меру тесноты связи между и называется коэффициентом детерминации.

(доля фактической дисперсии в общей, т.е. какая часть общей вариации результативного признака объясняется ).

Второй показатель тесноты связи называется коэффициентом корреляции:

(для ЭВМ).

При прямолинейной связи рассчитывается линейный коэффициент корреляции:

,

R = r только при прямолинейной связи.

Показатели тесноты связи проверяются на существенность – по критерию t (Стъюдента) и F (Фишера).

, должен быть больше – тогда существенен коэффициент .

Для R – по критерию Фишера:

, – число параметров в уравнении; c и двумя числами степеней свободы , . должен быть больше .

Для получения выводов о практической значимости показателей тесноты связи даётся оценка по шкале Чеддока:

R(r)	Сила связи
0	отсутствие связи
0,1-0,3	слабая
0,3-0,5	умеренная
0,5-0,7	заметная
0,7-0,9	высокая	(модель пригодна)
0,9-0,99	Весьма высокая (близкая к функциональной, R=1)

Для выбора адекватного (наиболее соответствующего фактическим данным) уравнения регрессии из множества уравнений применяется показатель средней ошибки аппроксимации:

; чем она меньше, тем модель адекватнее.