Глава IV. Электромагнитные колебания и волны

43. Электрический колебательный контур. Дифференциальное уравнение свободных электромагнитных колебаний и его решение. Рассм эл цепь. (Рис) Пусть конденсатор заряжен до разности потенциалов φ₁ – φ₂ . Если замкнуть ключ К, то в цепи потечет электрич ток, изменяющийся со временем. Будем считать параметры этой цепи сосредоточенными (все сопр в R, вся индуктивность в L, вся емкость в С), а геометрические размеры не очень большими. Тогда мгновенные значения переменного тока i одинаковы во всех сечениях цепи и удовлетворяют всем законам, установленным ранее для всех цепей постоянного тока (квазистационарные токи) Найдем зависимости тока в цепи от времени для нашей задачи. Для уч цепи: 1 L R 2 напишем обобщенный з-н Ома: i∙R= φ1 – φ2 + ε , ε – от самоинд катушки, ε = - L (*) Известно также что φ1 – φ2=q/C (**) Т.к. положительное направление тока связано с убылью заряда, то i = (***) Соберем фор-лы воедино –R = q/C + L L + R + q/C = 0 Это лин диф-е ур-е 2го порядка, к-е аналогично соответствующему ур-ю для свободных затухающих колебаний – m + b + kx = 0. Индуктивность явл-ся мерой инертности контура в отношении изменения в нем тока. Аналогом коэф-ту упругости k явл-ся q/C. Приведем ур-е к стандартному виду. + R/L + q/LC = 0 R/L = 2β 1/LC = ω₀² + 2β + ω₀²q = 0 Решение такого ур-я имеет вид {q = A₀ ∙ e ^_βt ∙ sin (ω∙t +φ) ; {ω=√(ω₀² – β²) Величины A₀ и φ зависят от начальных условий, т.е. от способа возбуждения колебаний. Эти кол-я происходят далее, как свободные затухающие. Подставим данные контура в решение линейного д.у. {q = A₀ ∙ ∙ sin (ω∙t +φ) ; {ω= Легко видеть, что заряд на обкладках конденсатора совершает затухающие колебания, поэтому рассм цепь наз – колебательным контуром. Из ф-лы видно, что амплитуда кол-й со временем убывает по з-ну А = A₀ ∙ e ^_βt = A₀ ∙ Т= 2π / ω = 2π / (Рис) Логарифмический декремент затухания: Ө = ln = ln e Ө= ln = βT Пусть t₁ – время, в течение к-го амплитуда кол-й уменьшилась в е раз. t₁ = 1/ β , β ∙ t₁ = 1. Подсчитаем ч-ло колебаний в контуре за время t1 N = t₁ /T = 1/ βT = 1/Ө В радиотехнике (и лазерной техн) вводят понятие добротности контура, к-я по определению равна Q = π / Ө = π ∙N . Т.е. добротность контура = числу π умнож на ч-ло колебаний, спустя к-е амплитуда уменьшится в е раз. С увеличением сопротивления R период колебаний контура (Т= 2π / ω = 2π / ) при R = R* = 2 стремится к бесконечности и колебания прекращаются. R* - критическое сопротивление колебат контура. При R>R* разрядка конденсатора происходит апериодически (по экспоненте). В таком контуре происходит перекачка энергии эл поля в эн-ю магн поля с одноврем выделением Джоулева тепла. Поэтому с теч времени колебания затухают.

43. Гармонические электромагнитные колебания. Пусть сопр контура =0. Тогда колеб в контуре становятся незатухающими. А заряд и ток изменяются по з-ну {q = A₀ ∙ sin (ω₀∙t +φ) ; {i= - = - ω₀ A₀ cos (ω₀ t+ φ) ω₀ =1 / Период своб кол-й в контуре: Т = 2π / ω₀= 2π Преобразуем выражение для тока в контуре: i = i₀ sin (ω₀t + φ - π/2) Ток отстает по фазе от заряда и разности потенциалов на π/2. R=0 Идеальн колебат контур (Рис) З-н сохр эн-и для идеал контура (R=0 – нет омического сопротивления, контур не греется) =const

43. Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс. В простейшем случае включим в контур синусоидальную, вынуждающую ЭДС. ε = ε₀ sin ωt (Рис) Тогда в этом контуре будут происходить вынужденные колебания { i∙R= φ₁ – φ₂ - L + ε₀ ∙sin ω∙t ; { φ₁ – φ₂ = q/C ; { i= - ; Произведя замену и продифференцировав ур-е по времени получим L + R + i/C =ω ∙ ε₀ cos ω∙t. После приведения ур-я к станд виду получим: + 2β + ω₀² ∙ i = cos ωt Полное решение такого неоднор Д.У. 2го пор-ка состоит из 2х частей(слагаемых). 1. Убывающ со временем характеризующая свободные колебания 2. Вынужденные колебания с частотой ω. Тогда установившиеся решение имеет вид: i = i₀ ∙sin (ωt - φ) Воспользуемся результатами, получ для мех-х кол-й: i₀ = tg φ = После подстановки значений ω₀ и β в эти две ф-лы получим: i₀ = tg φ = (Тангенс нач фазы = отнош реакт к акт сопрот) z = z – полное (эффект) сопротивление электрич цепи. Из i₀ = видна зависимость i₀ от ω: (Рис) При R₂>R₁, R=0 – нет максимума, он в ∞. i_{0 max} = ε₀ / R ω_p = ω₀ = (Рис) При ω= ω_r (резонансное) ток совпадает с вынуждающей ЭДС по фазе. Из графиков видно, что резонанс тем острее, чем меньше активное сопротивление контура (чем выше избирательность контура).

43. Общая характеристика теории Максвелла. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме. З-ны рассматривающие эл-е и магн явления – позволяют решать основную задачу: по заданному распределению зарядов и токов отыскать в любой т пространства электрические и магн поля, созданные ими. В 19 веке Максвелл опираясь на идеи Фарадея по поводу эл и магн явлений разработал теорию единого электромагнитного поля, создаваемого произвольной сист зарядов и токов. Теория Максвелла является феноменологической. Т.е. в ней не рассматривается внутренний мех-м явлений, происходящих в среде. Св-ва среды хар-ся в теории ч/з коэф-ты ε, μ и j . Эта теория является Макроскопической, т.е. рассматривает поля, созданные зарядами и токами в таких объемах,к-е достаточно велики по сравнению с атомами и молекулами. Теория явл-ся теорией близкодействия, т.е. все взаимодействия происходят с конечной скоростью. Для ЭДС индукции: ε_инд = - По опред магн поток: Ф_m = С другой стороны ранее мы получили: ε= E_СТОР = E – E_КУЛ – напряж поля сторонних сил. Объединим две посл ф-лы: ε= = - = ( = 0) Магн поток Ф_m сквозь контур может изменяться по многим причинам: ~ из-за измен формы контура; ~ из-за изм магн инд со временем и т.п. Это все учитывает полная произв в ф-ле : ε_инд = - Пусть контур неподвижен, а меняется только магн поле. Тогда вместо полн производной можно взять частн произв по времени. ε = - Объединив ур-я получим: = - первое ур-е Максвелла в интегральной ф-ме В этих ур-ях причина справа, а следствие слева – перемен магн поле в замкн контуре возбуждает вихревое эл поле. Максвелл предположил, что выражение = справедливо не только для проводящего, но и для любого другого контура, произвольн выбран в перемен магн поле. Перем магн поле возбуждает переем эл поле не зависимо от того, есть ли в этом месте контур.

43. Ток смещений. Второе уравнение Максвелла. Установим связь между переменным во времени электр полем и порождаемым им перемен магн полем. (Рис) q, σ, S, D – вр- электрич смещения i = = = = (Лев часть в ф-ле хар-ет ток в проводнике, т.е. ток проводимости. Прав часть определяется ск-ю изменения эл поля между пластинами.) i = Величина как бы продолжает линии тока между пластиними, замыкая их. Величина по предложению Максвелла названа – плотностью тока смещения j_СМЕЩ = Током смещения сквозь произвольн пов-ть S наз-ют физич величину численно равную потоку в-ра пл-ти тока смещения ч/з эту пов-ть. i_СМЕЩ= – = = Можно считать замкнутость цепей любых непостоянных токов восстановленной путем введения токов смещения, к-е протекают там, где нет проводников. По гипотезе Максвелла ток смещения создает в окр пр-ве такие же магн поля, как и магн поля, эквивалентных ему токов проводимости. В общ случае ток проводимости и ток смещения не разделены в пр-ве, могут существовать в 1м объеме, поэтому говорят о полном токе, как о сумме того и другого. Максвелл обобщил з-н полн тока, добавив в правую его часть ток смещения, охватываемый замкн контуром L. = i + i_СМЕЩ = i+ - второе ур-е Максвелла в интегральн ф-ме.

43. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме. Для обл-ти э/м поля, в к-й нет макротоков первые два ур-я Максвелла почти симметричны: = = Следствия: 1) Между электр и магн полями существ тесн взаимосвязь: изменение во времени эл поля вызывает появл магн поля и наоборот. 2) Различие в знаках следует из з-на сохр эн-и. 3) переменные э/м поля могут взаимно порождаясь существовать независимо от токов и зарядов. (н-р, свет,Х-лучи, у/ф, инфракр, радиоволны) Третье ур-е выражает т Остр-Гаусса = q Четвертое ур-е – Т Остр-Гаусса для магн поля: = 0 К этим ур-ям необх добавить ур-я характ-е электр и магн св-ва среды: D=ε∙ε₀∙E B = μ∙μ₀∙H j = γ∙E ( = = = q = 0 )

43. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Получен сист ур-й Максвелла в интегральн ф-ме устанавливает связь между некоторыми физич величинами, относящимися к конечн объемам, контурам, пов-тям. Можно преобразовать эти ур-я так, чтобы все эти величины относились к одной и той же т поля – диф-я ф-ма ур-й. Дивергенция в-ра D – явл-ся скалярн ф-ей корд в-ра. div D = ρ ( объемн пл-ть заряда) – перв ур-е Максвелла в диф ф-ме. В тех т, где ρ>0 и D>0 мы имеем истоки поля, а там где ρ<0 и D<0 – стоки поля. Аналогично можно сформулировать ур-е Максвелла в диф ф-ме для магн поля, к-е не имеет источников, аналогичн электрическому. div B = 0 – 2е ур-е Масвелла в диф ф-ме. Выражение для дивергенции зависит от выбора сист корд div D = + + Рассмотрев 1е ур-е Максвелла в интегр ф-ме можно получить вихрь напряженности поля Е - rot E = – Аналогично можно преобразовать 2е ур-е Максвелла в его диф ф-му: rot Н = j + Ур-я rot E = – и rot Н = j + выражают локальную связь между электрич и магн полями. Изменение во времени одного из полей в данной т определяет ротор другого поля в той же т. Легко видеть, что в общ случае электр поле тоже может быть вихревым. Полная сист ур-й Максвелла в диф ф-ме: rot E = – rot Н = j + div D = ρ div B = 0 D=ε∙ε₀∙E B = μ∙μ₀∙H j = γ∙E Теория Максвелла явилась завершением опред этапа в изучении явлений, связанных с эл-вом и магнетизмом. Она предполагает существование э/м поля.. Ур-я Максвелла содержат в себе все осн законы электрического и магн полей. Поэтому являются - общими ур-ми э/м поля в покоящихся средах.

43. Электромагнитные волны и их свойства. Как показывает опыт э/м поле, создаваемое в ограниченной обл-ти пр-ва распространяется в остальную часть пр-ва с конечной ск-ю. В вакууме она равна С = 3*10⁸ м/с – скорость света (ск-ть распростр э/м волн в вак) Если э/м поле создавать периодически, то распростр этого поля носит волновой х-р, что вытекает из теории Максвелла. Будем считать, что среда является идеальным диэлектриком γ=0, j=0 Ограничимся простым случаем, когда Е и Н зависит только от корд х и времени t – плоские волны. E=E(x,t), H=H(x,t) После диф-я по x и t и группирования полу чур-я: { = – { = – 2я группа связывает z составляющие эл поля и у сост магн поля. { = – { = – Из ур-й видно, что меняющиеся со временем эл поле Е_у вызывает появление только магн поля Н_z вдоль оси z, а переем во времени магн поле Н_z вызывает появление эл поля вдоль оси у. Е_у ┴Н_z Пусть первоначально было создано перемен эл поле вдоль оси оу, такое поле будет создавать магн поле вдоль оси оz и т.д. Полей Е_z и Н_y в этом случае нет совсем. Для описания плоской э/м волны соотв компоненты в исходных ур-ях нужно принять = 0. E_y=E; D_y=d; H_y=0; B_y=0 H_z=H; B_z=B; E_z=0 D_z=0. Для такой плоской волны ур-е Максвелла приобретает вид: = – = – (Рис) Перейдем в ур-ях к Е и Н = = Найдем производные от 2х последн ур-й по соответственно: = , – это и есть диф ур-е плоской волны, распространяющейся в положит направлении оси ч со скоростью: V = = C= - ск-ть света в вакууме. В простейш случае такому волновому ур-ю удовлетворяет синусоидальная волна Е= Е₀sin ω(t – x/V) Действуя аналогично можно из 2й пары ур-й Максвелла найти волновые ур-я для Н, к-е было бы аналогично ур-ю для Е. Н= Н₀sin ω(t – x/V) Проведя диф-е можно получить: Е = Н Следовательно в кажд т распространяющейся волны модули в-в Е и Н пропорциональны друг другу, кроме того в-ры Е ┴ Н и перпендикулярны направлению распространения: Е┴Н┴V. Е, Н, V – образуют правовинтовую тройку в-в. Из Е = Н следует, что Е и Н одновременно достигают максимума и одноврем обращ в ноль. Т.е. колебания электр и магн полей происходят в одинаковых фазах – синфазно.

43. Основные свойства электромагнитных волн. Опыты Герца. Впервые э/м волны были изучены Генрихом Герцем в 1888 г. Рассмотр колеб контур: (Рис) В контуре с сосредоточенными параметрами L и С электрич поле сосредоточено в конденсаторе, а магнитное в индуктивности. Эти поля наружу не проникают. Для того, чтобы излучение системы резко возросло – его ф-ма(контура) д/б быгодной – открытый колебательный контур. Естественно, что С и L такой сист будут небольшими и период Т=2π будет небольшой, а частота – высокой. Колебания в такой сист можно поддерживать периодически подзаряжая конденсатор. (Рис) Разность потенциалов между обеими половинками излучателя возрастает до тех пор, пока не наступит пробой. Искра замыкает две половинки и в этом контуре возникают колебания. Такая сист наз-ся диполем, или вибратором Герца. В излучающем вибраторе искровой промежуток составляет неск миллиметров. В самом вибраторе текут токи высокой частоты. В опытах Герца частота ≈100 МГц. На концах диполя эти токи отражаются и бегут обратно. Бегущие и отраженные волны интерферируют и устанавливается стоячая волна. Это яркий пример неквазистационарного процесса. По теории Максвелла полный ток одинаков для всех сечений вибратора. Весь вибратор оказался подобным струне, издающей свой основной тон. Длина волны = удвоенной длине вибратора. Направление и величину напряженности эл и магн полей Герц определил методом резонанса. В кач-ве резонатора он использовал стержень такой же длины, но с искровым промежутком неск сотых долей мм. В нем находился термочувствительный эл-т, выводы к-го присоединялись к гальванометру. В последствии было обнаружено, что вблизи от излучающего вибратора э/м поле очень сложно - поле свободных зарядов и токов вибратора и полеэ/м волн. Первое убывает, т.к. 1/R²(расстояние) , а второе убывает как 1/R. Поэтому на нек расст от виратора остается только поле э/м волн. Отсюда различают ближнюю и волновую зоны излучателя. Колебания Е и Н происходят по тому же з-ну, что и в излучающем вибраторе, но с отставанием по времени τ =R/V, R – расст от дан т до вибратора, V - фазовая ск-ть волны. Э/м волны отражаются от проводящих пов-й и преломляются на границах раздела диэлектриков, т.е. обладают теми же св-вами, что и свет.

43. Энергия электромагнитных волн. Поток энергии. Вектор Умова-Пойнтинга. Распространение э/м волн сопровождается переносом эн-и характеризующей э/м поле. Ранее для объемной пл-ти эн-и были получены ф-лы: ω_e= ε₀εE² / 2 ω_m= B²/ 2μ₀μ = μ₀μH² /2 Можно показать, что для э/м поля объемная плотность эн-и есть сумма обеих слагаемых ω= ε₀εE² / 2 + μ₀μH² /2 Е = Н Из этих ур-й следует, что ω= Е∙Н = Е∙Н/ V V - ск-ть распространения волн. Рассм в поле э/м волн произвольн площадку S, вычислим эн-ю ∆W, переносимую ч/з нее волной за время ∆t. За это время ч/з площадку пройдет вся эн-я, заключенная в рассматриваемом объеме (∆V_o). (Рис) ∆V_o = V∆t∙S∙cos α ∆W = ω∙∆V = V cos α ∆t = EHS cos α ∆t В пределе при ∆t→0 получаем: = E∙H∙S cosα Найдем вектор потока эн-и поля: p = [E,H] Тогда = p_nS Если площадка перпендикулярна р, то р_n = p. Движение эн-и в э/м поле характеризуют с помощью вектора потока эн-и Р. Его направление дает направление движения эн-и. Численное значение в-ра Р равно эн-и,, проходящей за единицу времени ч/з единицу пов-ти перпендикулярной ей. В-р Р наз-ся вектором Умова-Поинтинга. Как показывает опыт вибратор Герца излучает сферическую волну. Эн-я его растекается во все стороны, но абсолютная величина Р не остается постоянной. (Рис) Легко видеть,что вибратор совсем не излучает вдоль своей оси и максимально излучает в экваториальной пл-ти. Движущееся э/м поле переносит собой эн-ю, определяемую формулой ω= ε₀εE² / 2 + μ₀μH² /2 Причем пл-ть эн-и ρ= ω / C² Наличие массы, а следовательно и импульса у э/м полей приводит к существовании. Давления э/м волн на препятствия. Э/м поле обладает эн-ей и импульсом, перемещается в пр-ве с конечн ск-ю, давит на препятствия, следовательно э/м поле представляет собой физическую реальность.