I теорема Больцано – Коши.
ТЕОР1: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [A, B] и на концах сегмента имеет значения разных знаков. Тогда существует точка С(А, В) в которой f(C)=0.
Док-во:
Пусть f(A)<0
и f(B)>0.
Разделим сегмент [A,
B]
пополам. Если значение функции в середине
сегмента равно 0,
то теорема доказана. В противном случае
выберем тот из двух полученных сегментов,
на концах которого функция имеет
значение разных знаков. Обозначим его
[A1,
B1].
Повторим деление. Если продолжать этот
процесс неограниченно, то либо на к-ом
шаге значение функции в середине
сегмента [Aк,
Bк]
окажется равным 0.
Либо получим последовательность [A,
B]
[A1,
B1]
[A2,
B2]
…
[An,
Bn]…
вложенных сегментов, причем Bn
– An
= (В – А)/
0
при n
и на концах каждого сегмента [An,
Bn]
функция имеет значения разных знаков.
Существует точка С
принадлежащая всем сегментам. Докажем,
что f(C)=0.
ПП: Пусть f(C)>0, тогда существует окрестность точки С (по Т об устойчивости знака непрерыв Ф), в которой f(C)>0. В эту окрестность при большом n попадает сегмент [An, Bn]. На [An, Bn] будет выполняться неравенство f(x)>0, это противоречит тому, что на концах [An, Bn] функция имеет значения разных знаков (если f(C)<0 аналогично).
II теорема Больцано – Коши.
ТЕОР: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте[a, b], причем f(a)=A, f(b)=B. Пусть далее С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на сегменте [a, b] найдется точка X0 такая, что f(X0)=C.
Док-во: Пусть A<B и A<C<B. Рассмотрим функцию (x) = f(x) – C. Эта функция непрерывна на [a, b] как разность непрерывных функций и принимает на концах сегмента значения разных знаков: (a)=f(a) – C=A – C<0 и (b)=f(b) – C=B – C>0. Тогда (по1 Т Б-К) существует точка Х0(a, b) такая, что (Х0)=f(X0) – C=0 f(X0)=C.
I теорема Вейерштрасса.
ТЕОР: Если функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.
Док-во: ПП: пусть f(x) не ограничена на [a, b]. Разделим сегмент пополам, тогда, по крайней мере, на одном из сегментов функция не ограничена. Обозначим этот сегмент [a1, b1]. Продолжим процесс деления неограниченно получим последовательность [a, b] [a1, b1] [a2, b2] … [an, bn]… Это последовательность вложенных отрезков, на каждом из них функция не ограничена (по предположению). По построению bn - an =(b – a)/ 0 при n. Тогда существует единственная точка С принадлежащая всем этим отрезкам. Функция f(x) определена и непрерывна на [a, b]. Она непрерывна в точке С, но тогда (лемма) существует окрестность точки С, в которой f(x) ограничена. При большом n в эту окрестность попадает сегмент [an, bn], на котором функция также ограничена. Противоречие. Она ограничена на этом сегменте.
ЗАМ: теорема неверна, если сегмент заменить на интервал.
II теорема Вейерштрасса.
ТЕОР: Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она достигает на этом сегменте своих точных граней, т. е. существуют точки X1, X2[a, b] такие, что f(X1)=M=sup f(X2)=m=inf f(x) на сегменте [a, b].
Док-во:
Так как f(x)
непрерывна на [a,
b],
то она ограничена на этом отрезке (1 Т
В).
Существует точная верхняя М
и точная нижняя m
грани функции f(x)
на отрезке [a,
b].
Докажем, что функция достигает М,
т. е. существует точка Х1[a,
b],
что f(X1)=M.
Тогда для х[a,
b]
выполняется неравенство f(x)<M.
Построим вспомогательную функцию
F(x)=
>0
для х[a,
b].
Функция F(x)
непрерывна (как частное непрерывных
функций). Но тогда (по 1 Т В) F(x)
ограничена, т. е. найдется число >0
такое, что х[a,
b]
или f(x)M
– 1/..
Т. о. число М – 1/
является верхней гранью f(x)
на отрезке [a,
b].
Но это противоречит тому, что М
– точная верхняя грань f(x)
на отрезке [a,
b].
Существует точка X1[a,
b],
в которой f(x)=M.
(Нижняя грань аналогично)
ЗАМ: после доказательства факта, что непрерывная на [a, b] функция достигает своих точной нижней и верхней граней, точную верхнюю грань принято называть максимальным значением, а точную нижнюю грань – минимальным значением. Теорема формулируется:
Непрерывная на [a, b] функция принимает на нем свое min и max значение.