Теоремы Коши и Лагранжа.

     Существуют две теоремы: теорема Лагранжа и теорема Коши, устанавливающие связь между приращениями функций на некотором отрезке и значениями их производных в некоторой точке, лежащей внутри этого отрезка. Теорема Лагранжа была доказана раньше теоремы Коши и является частным случаем последней.

Теорема Коши. Если две функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в промежутке (a, b), причем производная ^/(x) второй из них не обращается в нуль в этом промежутке, то отношение конечных приращений этих функций на отрезке [a, b] равно отношению их производных в некоторой точке с промежутка (a, b) (быть может не единственной): 

Замечание. (b)-(a)0, так как иначе по теореме Ролля производная ^/(x) обращалась бы в нуль хотя бы в одной точке промежутка (a, b), а по теореме Коши ^/(x)0.

Доказательство. Введем вспомогательную функцию F(x), где

 

F(x)=

Или F(x)=f(x)((a)-(b))-(x)(f(a)-f(b))+f(a)(b)-f(b)(a)        (1)

F(x)=f(x)-f(a)-

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1)      она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в промежутке (a, b), так как является линейной комбинацией f(x) и (x);

2)      F(a)=F(b)=0 (по свойству определителя, имеющие две равные строки).

Поэтому, по теореме Ролля F^/(x) обращается в нуль в некоторой внутренней точке с отрезка [a, b]: F^/(c)=0

Но

F^/(x)= (так как определитель – это функция (1) от x, а f(a), (a), f(b), (b) – это коэффициенты разложения по первой строке).

Полагая, x=c, найдем F^/(c)= =0 или [(a)-(b)]f^/(c)-[f(a)-f(b)]^/(c)=0.

Преобразуем это выражение к другому виду, учитывая, что ^/(с)0 и (b)-(a)0.

      (2), что и требовалось доказать.

Положим теперь (x)=x, тогда (b)-(a)=b-a: ^/(x)1; ^/(c)=1.

Подставляя эти значения в равенство (2), получим             или

                                            f(b)-f(a)=f^/(c)(b-a)       (3)

Эта формула (3) называется формулой Лагранжа (формулой конечных приращений), и определяет содержание следующей теоремы:

Теорема Лагранжа (о среднем): Конечное приращение на отрезке [a, b] функции, непрерывной на этом отрезке и дифференцируемой внутри него, равно произведению конечного приращения аргумента на этом отрезке на значение производной в некоторой внутренней точке с отрезка [a, b].

 Рассмотрим, в чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа:

, но   - это угловой коэффициент уравнения хорды MN,

соединяющей точки M и N графика функции y=f(x).

С другой стороны: правая часть формулы равна угловому коэффициенту касательной к этому графику в точке Р с абсциссой x=c, где a<c<b.

 

f^/(c)=tg.

Итак, формула устанавливает равенство угловых коэффициентов хорды и касательной, то есть параллельность хорды и касательной.

Таким образом, геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в следующем: на произвольной дуге графика дифференцируемой функции всегда найдется такая точка, в которой касательная к графику будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.

26. Правила Лопиталя

Пусть функции f(x) и (x) имеют в окрестности точки x₀ непрерывные производные f '(x) и '(x) и пусть f(x₀) = (x₀) = 0 и (x)  0, '(x)  0 в окрестностях точки x₀, кроме, быть может самой точки x₀. Пусть далее существует предел  . Тогда

   Доказательство. Зафиксируем близкое к x₀ значение x  x₀ и рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на интервале [x₀ , x] ибо f(t) и (t) дифференцируемы по условию и Ф(x₀) = 0 (так как f(x₀) = (x₀) = 0 и Ф(x) = 0.    Поэтому между x и x₀ найдется такая точка x, что Ф'() = 0, т.е.  , откуда

     (1)

   Так как   и при xx₀ также x₀, то  , и согласно равенству (1) находим: